1-O valor do determinante da matriz A=\left[\begin{array}{cccc}m & 1 & 1 & 1 \\\ m & 1+p & 1 & 1 \\\ m & 1 & 1+r & 1 \\\ m & 1 & 1 & 1+s\end{array}\right], onde m= 2, p=-3, r=-4 e s=5 será igual a?

Passo 1

O enunciado pede o valor de \det(A), onde
A=\begin{pmatrix} m & 1 & 1 & 1\\\ m & 1+p & 1 & 1\\\ m & 1 & 1+r & 1\\\ m & 1 & 1 & 1+s \end{pmatrix}
e os parâmetros valem m=2, p=-3, r=-4, s=5.
O conteúdo necessário é cálculo de determinante de matriz quadrada usando operações elementares que preservam o determinante.

Passo 2

Substituindo os valores de m,p,r,s, temos
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1\\\\ 2 & -2 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & -3 & 1\\\\ 2 & 1 & 1 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicamos as operações de linha
L_2\leftarrow L_2-L_1,\quad L_3\leftarrow L_3-L_1,\quad L_4\leftarrow L_4-L_1,
que não alteram o valor do determinante. Isso gera a matriz triangular
B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -3 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -4 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para uma matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Então
\det(A)=\det(B)=2\cdot(-3)\cdot(-4)\cdot5=120.

Resposta

120

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