Resolva os PVI’s dados, usando dois dos métodos: variação de parâmetros, coeficientes indeterminados e transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=e^{2 t} tal que y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y' + 4y = e^{2t}, \quad y(0)=1,\;y'(0)=0,
usando dois métodos dentre variação de parâmetros, coeficientes indeterminados e transformada de Laplace. Aqui escolhemos coeficientes indeterminados e transformada de Laplace.

Passo 2

Começamos pela solução da equação homogênea associada
y_h'' + 4y_h' +4y_h = 0.
A equação característica é
r^2+4r+4=(r+2)^2=0,
logo r=-2 duplo. Portanto
y_h(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{-2t}.

Passo 3

Método dos coeficientes indeterminados: como o termo não‐homogêneo é e^{2t}, tentamos
y_p(t) = A\,e^{2t}.
Então
y_p' = 2A\,e^{2t},\quad y_p'' = 4A\,e^{2t},
e
y_p''+4y_p'+4y_p = (4A + 8A + 4A)e^{2t} =16A\,e^{2t} \overset{!}{=}e^{2t} \quad\Longrightarrow\quad A=\tfrac1{16}.
Logo
y(t) = y_h + y_p = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{-2t} + \tfrac1{16}e^{2t}.
Agora impomos y(0)=1 e y'(0)=0. Calculamos
y(0) = C_1 + \tfrac1{16}=1 \;\Rightarrow\;C_1=\tfrac{15}{16},
e
y'(t) = e^{-2t}\bigl(-2C_1 + C_2 -2C_2 t\bigr) + \tfrac1{8}e^{2t},
logo em t=0:
y'(0) = -2C_1 + C_2 + \tfrac1{8}=0 \;\Rightarrow\; C_2 = 2C_1 - \tfrac1{8} = \tfrac{15}{8}-\tfrac1{8}=\tfrac{7}{4}.
Ficamos com
y(t) = \Bigl(\tfrac{15}{16} + \tfrac{7}{4}\,t\Bigr)e^{-2t} + \tfrac1{16}e^{2t}.

Passo 4

Transformada de Laplace: seja Y(s)=\mathcal L\{y(t)\}. Aplicando a transformada em \;y''+4y'+4y=e^{2t}, com y(0)=1,\;y'(0)=0,
obtemos
(s^2Y - s\cdot1 -0) + 4(sY -1) + 4Y = \frac1{s-2}.
Reagrupando:
(s^2+4s+4)\,Y - (s+4) = \frac1{s-2} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{\displaystyle\frac1{s-2} + s+4}{(s+2)^2} = \frac{s^2+2s-7}{(s-2)(s+2)^2}.

Passo 5

Fazemos frações parciais:
\frac{s^2+2s-7}{(s-2)(s+2)^2} = \frac{A}{s-2} + \frac{B}{s+2} + \frac{C}{(s+2)^2},
com A=\tfrac1{16},\,B=\tfrac{15}{16},\,C=\tfrac74. Então
Y(s) = \frac{1/16}{s-2} + \frac{15/16}{s+2} + \frac{7/4}{(s+2)^2}.
Invertemos:
y(t) = \tfrac1{16}e^{2t} + \tfrac{15}{16}e^{-2t} + \tfrac{7}{4}\,t\,e^{-2t},
que coincide com o resultado do método dos coeficientes indeterminados.

Resposta

y(t) = \Bigl(\tfrac{15}{16} + \tfrac{7}{4}\,t\Bigr)e^{-2t} + \tfrac1{16}e^{2t}.

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