Comportamento de Soluções quando \boldsymbol{t} \rightarrow \infty. Os problemas de 37 a 39 tratam do comportamento de soluções no limite quando t \rightarrow \infty.
Se a>0 e b>0, mas c=0, mostre que o resultado do Problema 37 não continua válido, mas que todas as soluções tendem a uma constante, que depende da condição inicial, quando t \rightarrow \infty. Determine essa constante para as condições iniciais y(0)=y_{0}, y^{\prime}(0)=y_{0}^{\prime}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o caso em que em “Problema 37” o parâmetro c foi posto igual a zero, mantendo a>0 e b>0, e então mostrar que o resultado do Problema 37 deixa de valer, mas que as soluções passam a convergir, para t\to\infty, a uma constante que depende de y(0)=y_{0} e y'(0)=y_{0}'. No entanto, o enunciado não nos informa qual é a equação diferencial estudada em Problema 37. Sem conhecer a forma exata dessa equação (por exemplo, se é
y''+c\,y'+a\,y=b,
ou outra), não podemos derivar o comportamento assintótico nem calcular a constante limite em termos de y_{0} e y_{0}'.

Resposta

Não é possível resolver o exercício pois não foi fornecido o enunciado (isto é, a equação diferencial) do Problema 37, informação essencial para determinar a constante limite.

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