O que é um valor discrepante (outlier)? Como identificá-lo a partir do boxplot? Pesquise.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Definir o que é um valor discrepante (outlier).
  • Explicar como identificá‑lo a partir do boxplot (isto é, a regra prática usada no boxplot para marcar pontos como outliers).
Não foram fornecidos números ou figuras; vou explicar a definição, a construção do boxplot (passo a passo) e a regra usada para marcar outliers, com um exemplo numérico completo e alternativas de identificação.

Passo 2

O que é um valor discrepante (outlier)?
  • Um valor discrepante é uma observação que difere de forma marcada das outras observações da amostra. Em outras palavras, é um ponto que está “longe” do conjunto central dos dados.
  • Causas típicas: erro de medição/registro, entrada de dados errada, variabilidade natural (um caso raro mas real) ou presença de subpopulações distintas.
  • Importância prática: outliers podem distorcer médias e estimativas de variabilidade; por isso é importante identificá‑los, investigá‑los e decidir como tratá‑los (corrigir, excluir ou manter com justificativa).

Passo 3

Como o boxplot é construído (elementos essenciais) — passo a passo didático:
  • Primeiro se ordenam os dados em ordem crescente.
  • Calcula‑se a mediana, que é o valor que divide a amostra ao meio.
    • Se o número de observações n for par, a mediana é a média dos dois valores centrais.
    • Se n for ímpar, a mediana é o valor central.
  • Calcula‑se o primeiro quartil Q_1: mediana da metade inferior dos dados.
  • Calcula‑se o terceiro quartil Q_3: mediana da metade superior dos dados.
  • Define‑se o intervalo interquartílico (IQR) como
\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1.
  • No boxplot:
    • O retângulo (a “caixa”) vai de Q_1 a Q_3.
    • Uma linha dentro da caixa indica a mediana.
    • “Whiskers” (bigodes) se estendem até o menor e o maior valor que ainda esteja dentro de limites (fences) definidos a partir da IQR.
    • Pontos além dos whiskers são desenhados individualmente como outliers.
Obs.: existe alguma variação na forma de calcular Q_1 e Q_3 (métodos diferentes para posições percentíeis), mas a regra de fences abaixo é a mais usada em boxplots estilo Tukey.

Passo 4

Regra padrão (Tukey) do boxplot para identificar outliers
  • Calcular \mathrm{IQR}=Q_3-Q_1.
  • Definir os limites (fences):
\text{limite inferior} = Q_1 - 1{,}5\cdot\mathrm{IQR}, \qquad \text{limite superior} = Q_3 + 1{,}5\cdot\mathrm{IQR}.
  • Todas as observações com valor x tal que
x < Q_1 - 1{,}5\cdot\mathrm{IQR} \quad\text{ou}\quad x > Q_3 + 1{,}5\cdot\mathrm{IQR}
são marcadas como outliers (pontos isolados no gráfico).
  • Existe também uma regra para outliers extremos (menos comuns): usar 3{,}0\cdot\mathrm{IQR} em vez de 1{,}5\cdot\mathrm{IQR}. Valores além de Q_3 + 3\cdot\mathrm{IQR} ou abaixo de Q_1 - 3\cdot\mathrm{IQR} são frequentemente chamados de outliers extremos.
Por que 1{,}5\cdot\mathrm{IQR}? É uma convenção prática proposta por Tukey que funciona bem para distinguir observações razoáveis daquelas muito distantes do núcleo dos dados, e é robusta a distribuição dos dados (não exige normalidade).

Passo 5

Exemplo numérico completo (para aprender fazendo)
Tomemos a amostra (ordenada):
\{2,4,5,7,8,9,10,12,13,14,18,30\}.
Aqui n=12 (par). Vamos calcular passo a passo:
  • Mediana: média dos 6.º e 7.º valores. O 6.º é 9 e o 7.º é 10. Logo
\text{mediana}=\frac{9+10}{2}=9{,}5.
  • Metade inferior (seis primeiros): \{2,4,5,7,8,9\}. O Q_1 é a mediana dessa metade: média do 3.º e 4.º da metade, 5 e 7:
Q_1=\frac{5+7}{2}=6.
  • Metade superior (seis últimos): \{10,12,13,14,18,30\}. O Q_3 é a mediana dessa metade: média do 3.º e 4.º da metade, 13 e 14:
Q_3=\frac{13+14}{2}=13{,}5.
  • Calcular \mathrm{IQR}:
\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1=13{,}5-6=7{,}5.
  • Calcular os fences (limites):
\text{limite inferior}=Q_1-1{,}5\cdot\mathrm{IQR}=6-1{,}5\cdot7{,}5=6-11{,}25=-5{,}25,
\text{limite superior}=Q_3+1{,}5\cdot\mathrm{IQR}=13{,}5+11{,}25=24{,}75.
  • Comparar os dados com os limites:
    • Todos os valores estão entre -5{,}25 e 24{,}75, exceto 30 (pois 30>24{,}75).
  • Conclusão para o exemplo:
    • No boxplot, os whiskers iriam até o menor e maior valores que estão dentro dos fences, ou seja, até 2 e até 18.
    • O valor 30 apareceria como um ponto isolado (outlier).
  • E quanto a outlier extremo com 3{,}0\cdot\mathrm{IQR}?
Q_3+3{,}0\cdot\mathrm{IQR}=13{,}5+3{,}0\cdot7{,}5=13{,}5+22{,}5=36.
Como 30<36, 30 é um outlier “mild” (leve), não um outlier extremo segundo essa convenção.

Passo 6

Alternativas à regra do boxplot (quando usar outras)
  • Z‑score (adequado se os dados são aproximadamente normais):
    • Calcular z=\dfrac{x-\bar{x}}{s}, onde \bar{x} é a média amostral e s o desvio padrão amostral.
    • Valores com |z|>3 (ou outro limiar) são suspeitos de ser outliers.
    • Desvantagem: média e desvio padrão são sensíveis a outliers; o método pode falhar se a distribuição não for próxima da normal.
  • Modified z‑score (robusto): usa mediana e MAD (median absolute deviation).
    • Definir \text{MAD}=\mathrm{median}(|x_i-\text{mediana}|).
    • Modified z: \displaystyle M_i=0{,}6745\cdot\frac{x_i-\text{mediana}}{\text{MAD}}.
    • Ponto com |M_i|>3{,}5 é considerado outlier por uma regra prática.
    • É mais robusto que o z‑score clássico.
  • Escolha prática:
    • Para visualização rápida e robusta use a regra do boxplot (IQR).
    • Para testes formais ou quando há suposição de normalidade, o z‑score pode ser adequado.
    • Para análises robustas prefira medidas baseadas em medianas (MAD, modified z).

Passo 7

Como interpretar e o que fazer depois de identificar um outlier
  • Investigar: conferir se é erro de entrada/medição; se for, corrigir ou remover.
  • Contexto importa: um outlier pode ser a observação mais interessante (evento raro) e não deve ser sempre excluído.
  • Documentar decisões: se remover, registrar critério e efeito sobre resultados.
  • Em análises estatísticas, considerar métodos robustos (mediana, estimadores robustos, testes que toleram outliers) ou modelagem que permita heavy tails.

Passo 8

Resumo prático (truques para prova)
  • Para identificar pelo boxplot: calcule Q_1, Q_3, \mathrm{IQR}=Q_3-Q_1 e use
Q_1-1{,}5\cdot\mathrm{IQR}\quad\text{e}\quad Q_3+1{,}5\cdot\mathrm{IQR}.
  • Pontos fora desses limites aparecem como pontos isolados no boxplot e são chamados outliers (ex.: no exemplo acima 30 é outlier).
  • Se pedirem “outlier extremo”, compare com 3{,}0\cdot\mathrm{IQR}.

Resposta

Um valor discrepante (outlier) é uma observação que difere marcadamente do restante da amostra, podendo resultar de erro, variabilidade rara ou subpopulação distinta.
No boxplot, identifica‑se outliers calculando Q_1, Q_3 e \mathrm{IQR}=Q_3-Q_1; pontos com
x<Q_1-1{,}5\cdot\mathrm{IQR}\quad\text{ou}\quad x>Q_3+1{,}5\cdot\mathrm{IQR}
são plotados como outliers (valores além de Q_1-3{,}0\cdot\mathrm{IQR} ou Q_3+3{,}0\cdot\mathrm{IQR} são frequentemente chamados de outliers extremos).

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