(Valor 1,5) Encontre \lim _{(x, y) \rightarrow(-1,2)} \frac{(x+1)\left(y^{2}-5 y+6\right)}{\left(x^{2}-2 x-3\right)(y-2)}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)\to(-1,2). O conteúdo principal é fatorar polinômios no numerador e denominador para simplificar e só então avaliar o limite.

Passo 2

Observe que
y^{2}-5y+6 = (y-2)(y-3)
e
x^{2}-2x-3 = (x-3)(x+1).
Logo a expressão original
\frac{(x+1)\bigl(y^{2}-5y+6\bigr)}{\bigl(x^{2}-2x-3\bigr)(y-2)}
pode ser escrita como
\frac{(x+1)\,(y-2)\,(y-3)}{(x-3)\,(x+1)\,(y-2)}.

Passo 3

Para (x,y)\neq(-1,2) cancelam-se os fatores comuns x+1 e y-2, resultando em
\frac{y-3}{\,x-3\,}.

Passo 4

Agora basta avaliar o limite da expressão simplificada em (x,y)\to(-1,2):
\lim_{(x,y)\to(-1,2)}\frac{y-3}{\,x-3\,} =\frac{2-3}{-1-3} =\frac{-1}{-4} =\frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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