(Valor: 2,0 pt.) Encontre a solução da Equação de Laplace, no sistema de coordenadas esféricas,
, para os seguintes casos:
(a) (Valor: 0,2 pt.) Sistema com simetrias radial e azimutal
;
(b) (Valor: 0,15 pt.) Sistema com simetrias polar e azimultal
;
(c) (Valor: 0,15 pt.) Simetria azimutal
.
Equação de Laplace:
(a) (Valor: 0,2 pt.) Sistema com simetrias radial e azimutal
(b) (Valor: 0,15 pt.) Sistema com simetrias polar e azimultal
(c) (Valor: 0,15 pt.) Simetria azimutal
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Laplace em coordenadas esféricas,
sob três hipóteses de simetria:
(a) simetria radial e azimutal, de modo que ;
(b) simetria polar e azimutal, de modo que ;
(c) apenas simetria azimutal, de modo que .
Para cada caso, simplificamos a expressão de e integramos conforme a teoria de separação de variáveis.
(a) simetria radial e azimutal, de modo que
(b) simetria polar e azimutal, de modo que
(c) apenas simetria azimutal, de modo que
Para cada caso, simplificamos a expressão de
Passo 2
Caso (a):
.
Apenas o termo em sobrevive na equação de Laplace, pois
e
. Resta
Apenas o termo em
Multiplicando por
e integrando em
:
Integramos novamente:
Passo 3
Caso (b):
.
Só o termo em permanece, pois
e
. A equação reduz-se a
Só o termo em
Defina
. Então
implica
Passo 4
Caso (c):
onde
. O resultado geral é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)