(Valor: 2,0 pt.) Encontre a solução da Equação de Laplace, no sistema de coordenadas esféricas, \nabla^{2} V(r ; \theta ; \varphi)=0, para os seguintes casos:
(a) (Valor: 0,2 pt.) Sistema com simetrias radial e azimutal (V(\theta));
(b) (Valor: 0,15 pt.) Sistema com simetrias polar e azimultal (V(r));
(c) (Valor: 0,15 pt.) Simetria azimutal (V(r ; \theta)).

Equação de Laplace:

\left(\frac{1}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}(r V(r, \theta, \varphi))+\frac{1}{r^{2} \sin (\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin (\theta) \frac{\partial}{\partial \theta} V(r, \theta, \varphi)\right)+\frac{1}{r^{2} \sin (\theta)^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}} V(r, \theta, \varphi)\right)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Laplace em coordenadas esféricas,
\nabla^{2}V(r,\theta,\varphi)=0,
sob três hipóteses de simetria:
(a) simetria radial e azimutal, de modo que V=V(\theta);
(b) simetria polar e azimutal, de modo que V=V(r);
(c) apenas simetria azimutal, de modo que V=V(r,\theta).
Para cada caso, simplificamos a expressão de \nabla^{2}V e integramos conforme a teoria de separação de variáveis.

Passo 2

Caso (a): V=V(\theta).
Apenas o termo em \theta sobrevive na equação de Laplace, pois \partial V/\partial r=0 e \partial V/\partial\varphi=0. Resta
\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\,\frac{d}{d\theta}\!\Bigl(\sin\theta\,\frac{dV}{d\theta}\Bigr)=0.
Multiplicando por r^{2} e integrando em \theta:
\frac{d}{d\theta}\!\Bigl(\sin\theta\,\frac{dV}{d\theta}\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta\,\frac{dV}{d\theta}=C_{1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dV}{d\theta}=\frac{C_{1}}{\sin\theta}.
Integramos novamente:
V(\theta)=C_{1}\ln\!\bigl[\tan(\tfrac{\theta}{2})\bigr]+C_{2}.

Passo 3

Caso (b): V=V(r).
Só o termo em r permanece, pois \partial V/\partial\theta=0 e \partial V/\partial\varphi=0. A equação reduz-se a
\frac{1}{r}\,\frac{d^{2}}{dr^{2}}\bigl(r\,V(r)\bigr)=0.
Defina u(r)=rV(r). Então u''(r)=0 implica
u(r)=A\,r + B \quad\Longrightarrow\quad V(r)=A + \frac{B}{r}.

Passo 4

Caso (c): V=V(r,\theta)\) com simetria azimutal (\(\partial/\partial\varphi=0\)). Usamos separação de variáveis \(V(r,\theta)=R(r)\,\Theta(\theta)\). Isso leva ao sistema \[\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{R}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r^{2}\frac{dR}{dr}\Bigr)=\lambda,\\[6pt] \displaystyle \frac{1}{\Theta\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\Bigl(\sin\theta\,\frac{d\Theta}{d\theta}\Bigr)=-\lambda, \end{cases}
onde \lambda=l(l+1)\] é constante de separação. As soluções regulares envolvem polinômios de Legendre \(P_{l}(\cos\theta). O resultado geral é
V(r,\theta) =\sum_{l=0}^{\infty}\Bigl(A_{l}\,r^{l}+B_{l}\,r^{-(l+1)}\Bigr)\,P_{l}(\cos\theta).]

Resposta

(a) \displaystyle V(\theta)=C_{1}\ln\!\bigl[\tan(\tfrac{\theta}{2})\bigr]+C_{2}.
(b) \displaystyle V(r)=A+\frac{B}{r}.
(c) \displaystyle V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}\Bigl(A_{l}\,r^{l}+B_{l}\,r^{-(l+1)}\Bigr)\,P_{l}(\cos\theta).

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