(Valor: \mathbf{2 , 5} pt.) Considere uma caixa retangular submetida ás condições de contorno
V(x, y, z) \Rightarrow\left\{\begin{array}{llll} V(0, y, z)=0 & \text { e } & V(a, y, z)=V_{0} \\\ V(x, 0, z)=0 & \text { e } & V(x, b, z)=V_{0} \sin (x) \\\ V(x, y, 0)=0 & \text { e } & V(x, y, c)=V_{0} \cos (y) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de Laplace \nabla^2 V=0 numa caixa retangular [0,a]\times[0,b]\times[0,c] com condições de contorno Dirichlet:
\begin{cases} V(0,y,z)=0,\quad V(a,y,z)=V_{0},\\\ V(x,0,z)=0,\quad V(x,b,z)=V_{0}\sin(x),\\\ V(x,y,0)=0,\quad V(x,y,c)=V_{0}\cos(y). \end{cases}
Para haver solução única, os valores prescritos em faces adjacentes devem coincidir sobre as arestas comuns. Vamos verificar essa consistência.

Passo 2

Considere a aresta em que se cruzam as faces x=a e y=b. Nessa aresta, qualquer ponto satisfaça simultaneamente
V(a,b,z)=V_{0} \quad\text{e}\quad V(a,b,z)=V_{0}\sin(a).
Para não haver contradição é preciso que
\sin(a)=1.

Passo 3

Agora olhe a aresta em que se cruzam as faces y=b e z=c. Ali temos
V(x,b,c)=V_{0}\sin(x) \quad\text{e}\quad V(x,b,c)=V_{0}\cos(b).
Isto exigiria que \sin(x) fosse constante para todo x, o que é impossível.

Passo 4

Como os contornos prescritos não coincidem nas arestas comuns (a menos de relações especiais entre a e b que não foram dadas), não é possível satisfazer todas as condições de contorno ao mesmo tempo.

Resposta

Não existe potencial V(x,y,z) que satisfaça todas as condições de contorno fornecidas, pois elas se contradizem sobre as arestas da caixa.

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