Exercício 4. A equação de uma onda transversal numa corda é: \mathbf{y}=\mathbf{5} \cdot \operatorname{sen}[\boldsymbol{\pi} \cdot(\mathbf{0 , 0 2} \cdot \mathbf{x}-\mathbf{2 , 0 0} \cdot \mathbf{t})] na qual \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{A}, \lambda são medidos em centímetros, \mathbf{v} em \mathrm{cm} / \mathrm{s}, \mathbf{f} em Hz, \omega em rad/s e \mathbf{t} em segundos. Determine:
o comprimento de onda ( \lambda )

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da onda transversal
y = 5 \,\operatorname{sen}\bigl[\pi\,(0,02\,x - 2,00\,t)\bigr]
com x em centímetros e t em segundos. Queremos determinar o comprimento de onda \lambda. Para isso, vamos usar o modelo geral de uma onda viajante:
y = A \,\operatorname{sen}(kx - \omega t),
onde k é o número de onda e se relaciona com \lambda por
k = \frac{2\pi}{\lambda}.

Passo 2

Vamos comparar o argumento da função seno:
\pi\,(0,02\,x - 2,00\,t) = (\pi\cdot 0,02)\,x \;-\; (\pi\cdot 2,00)\,t.
Dessa forma identificamos
k = \pi \times 0,02 = 0,02\,\pi \quad(\text{rad/cm}),
\omega = \pi \times 2{,}00 = 2\,\pi \quad(\text{rad/s}).

Passo 3

Sabendo que
k = \frac{2\pi}{\lambda},
substituímos k = 0,02\,\pi:
0,02\,\pi = \frac{2\pi}{\lambda} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{2\pi}{0,02\,\pi} = \frac{2}{0,02} = 100.
Como x está em centímetros, \lambda = 100 cm.

Resposta

\lambda = 100 cm.

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