Para qual valor de lambda os vetores v = lambda i - j + k e u = lambda i + lambda j - 2 k são perpendiculares? Existe valores de lambda para quais v e u sejam paralelos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de que faz com que os vetores e sejam perpendiculares. Além disso, queremos saber se existe algum valor de que os torne paralelos. Para isso, vamos usar conceitos de produtos vetoriais e escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar deles for zero. O produto escalar de e é dado por:
Vamos calcular isso com os componentes dos vetores.

Passo 3

Identificando os componentes:
Agora, aplicando na fórmula do produto escalar:

Passo 4

Para que os vetores sejam perpendiculares, esse produto escalar deve ser zero:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar .

Passo 5

Resolvendo a equação usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, temos duas soluções:

Passo 6

Agora, vamos verificar se existe algum valor de que faz e serem paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo do outro. Ou seja, existe um escalar tal que:
Vamos igualar os componentes.

Passo 7

Igualando os componentes:
Da última equação:
Agora, substituindo na primeira equação:

Resposta

Os vetores e são perpendiculares para e . Além disso, eles são paralelos quando .

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