Para qual valor de
os vetores
e
são perpendiculares? Existe valores de
para quais
e
sejam paralelos?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de
que faz com que os vetores
e
sejam perpendiculares. Além disso, queremos saber se existe algum valor de
que os torne paralelos. Para isso, vamos usar conceitos de produtos vetoriais e escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar deles for zero. O produto escalar de
e
é dado por:
Vamos calcular isso com os componentes dos vetores.
Passo 3
Identificando os componentes:
Agora, aplicando na fórmula do produto escalar:
Passo 4
Para que os vetores sejam perpendiculares, esse produto escalar deve ser zero:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar
.
Passo 5
Resolvendo a equação
usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, temos duas soluções:
Passo 6
Agora, vamos verificar se existe algum valor de
que faz
e
serem paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo do outro. Ou seja, existe um escalar
tal que:
Vamos igualar os componentes.
Passo 7
Igualando os componentes:
Da última equação:
Agora, substituindo
na primeira equação:
Resposta
Os vetores
e
são perpendiculares para
e
. Além disso, eles são paralelos quando
.