Qual o valor de
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{3}}{x-3} ?
(a) -\frac{1}{3}
(b) \frac{1}{3}
(c) -\frac{1}{6}
(d) \frac{1}{6}
(e) -\frac{1}{9}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 3} \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{3}}{x-3}.
Isso é um limite de quociente, que aparece na definição de derivada, mas podemos resolver via álgebra de frações para depois aplicar o limite.

Passo 2

Simplificamos o numerador reunindo \tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{3} numa única fração:
\frac{1}{x}-\frac{1}{3} = \frac{3-x}{3x}.

Passo 3

Substituímos na expressão original e dividimos por x-3:
\frac{\frac{3-x}{3x}}{x-3} = \frac{3-x}{3x\,(x-3)}.
Como 3-x=-\,(x-3), isso vira
\frac{3-x}{3x\,(x-3)} = \frac{-\,(x-3)}{3x\,(x-3)} = -\frac{1}{3x}.

Passo 4

Agora calculamos o limite de -1/(3x) quando x\to3:
\lim_{x\to3}\Bigl(-\frac{1}{3x}\Bigr) = -\frac{1}{3\cdot3} = -\frac{1}{9}.

Resposta

(e) -\frac{1}{9}

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