Questão 5: Seja f(x)=\frac{1}{x^{4}}-\frac{1}{x}, x>0. Determine o valor de a de modo que a reta tangente em P_{a}:=(a, f(a)) passe pela origem

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{1}{x^{4}}-\frac{1}{x},\quad x>0,
e pede o valor de a tal que a reta tangente em P_{a}=(a,f(a)) passe pela origem.
Conteúdo necessário: derivada de f, equação da reta tangente e condição de passagem por um ponto.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como
f(x)=x^{-4}-x^{-1},
usa-se a regra do poder:
f'(x)=-4x^{-5}-(-1)x^{-2}=-\frac{4}{x^{5}}+\frac{1}{x^{2}}.

Passo 3

A reta tangente a f em x=a é
y - f(a) = f'(a)\,(x - a).
Para que ela passe por (0,0), substituímos (x,y)=(0,0):
0 - f(a) = f'(a)\,(0 - a) \quad\Longrightarrow\quad f(a) = a\,f'(a).

Passo 4

Substituindo f(a) e f'(a) na condição f(a)=a\,f'(a):
\frac{1}{a^{4}} - \frac{1}{a} = a\Bigl(-\frac{4}{a^{5}} + \frac{1}{a^{2}}\Bigr) = -\frac{4}{a^{4}} + \frac{1}{a}.
Multiplicando ambos os lados por a^{4}:
1 - a^{3} = -4 + a^{3}.
Reagrupando:
2\,a^{3} = 5 \quad\Longrightarrow\quad a^{3} = \frac{5}{2} \quad\Longrightarrow\quad a = \sqrt[3]{\frac{5}{2}}.

Resposta

\displaystyle a = \sqrt[3]{\frac{5}{2}}

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