(Valor:
) na região definida por
(unidimensional), dadas as seguintes condições de contorno:
Sugestão: use a equação de Laplace
.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar o comportamento funcional de
na região unidimensional
, sabendo que as condições de contorno são
Informações dadas relevantes: a sugestão diz para usar a equação de Laplace em 1D, ou seja
Nada mais é pedido além de determinar explicitamente
que satisfaça a equação diferencial e os dois contornos dados.
Passo 2
Interpretação da equação diferencial e estratégia: a equação
diz que a derivada segunda de
é nula em toda a região. Matematicamente, isso implica que a primeira derivada é constante (ou seja,
tem inclinação constante) e, portanto,
é uma função afim (reta) de
. A estratégia é integrar duas vezes a equação para obter a forma geral de
e depois usar os contornos para achar as constantes.
Passo 3
Integração da equação diferencial passo a passo. Integramos uma vez:
onde
é uma constante (é a inclinação da reta). Integramos novamente:
onde
é outra constante (é o coeficiente constante, a ordenada na origem da reta). Então a forma geral da solução é uma reta com dois parâmetros
e
.
Passo 4
Aplicação das condições de contorno para determinar
e
. Usamos
e
. Substituindo na forma geral:
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar
:
Fatorando
:
Portanto
Agora obtenha
substituindo
em uma das equações (uso a de
):
Substituindo
:
Passo 5
Escrevendo
explicitamente com os
encontrados. Substituindo na expressão
obtemos uma forma clara e prática:
Esta é uma interpolação linear entre os dois contornos: em
dá
e em
dá
. Alternativamente, podemos escrever em forma centrada:
Comentário físico rápido e checagem: a inclinação
é constante e positiva (porque
está à direita de
), então o potencial varia linearmente do valor negativo no lado esquerdo para o valor positivo no lado direito. Para checar, substitua
na expressão e confirme
; substitua
e confirme
.