(Valor: \mathbf{0 , 5 ~ p t . ) ~ E n c o n t r e ~ o ~ c o m p o r t a m e n t o ~ f u n c i o n a l ~ d o ~ p o t e n c i a l ~ e l e ́ t r i c o ~ ( ~} V(x) ) na região definida por x_{1} \leq x \leq x_{2} (unidimensional), dadas as seguintes condições de contorno:
V(x) \longrightarrow\left\{\begin{array}{l} V\left(x_{1}\right)=-V_{0} \\\ V\left(x_{2}\right)=+V_{0} \end{array}\right.
Sugestão: use a equação de Laplace \nabla^{2} V(r)=0 \Longrightarrow \frac{d^{2} V(x)}{d x^{2}}=0.

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o comportamento funcional de V(x) na região unidimensional x_{1}\le x\le x_{2}, sabendo que as condições de contorno são
V(x_{1})=-V_{0},
V(x_{2})=+V_{0}.
Informações dadas relevantes: a sugestão diz para usar a equação de Laplace em 1D, ou seja
\frac{d^{2}V(x)}{d x^{2}}=0.
Nada mais é pedido além de determinar explicitamente V(x) que satisfaça a equação diferencial e os dois contornos dados.

Passo 2

Interpretação da equação diferencial e estratégia: a equação
\frac{d^{2}V(x)}{d x^{2}}=0
diz que a derivada segunda de V é nula em toda a região. Matematicamente, isso implica que a primeira derivada é constante (ou seja, V tem inclinação constante) e, portanto, V é uma função afim (reta) de x. A estratégia é integrar duas vezes a equação para obter a forma geral de V(x) e depois usar os contornos para achar as constantes.

Passo 3

Integração da equação diferencial passo a passo. Integramos uma vez:
\frac{d^{2}V}{dx^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dV}{dx}=C_{1},
onde C_{1} é uma constante (é a inclinação da reta). Integramos novamente:
\frac{dV}{dx}=C_{1}\quad\Longrightarrow\quad V(x)=C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante (é o coeficiente constante, a ordenada na origem da reta). Então a forma geral da solução é uma reta com dois parâmetros C_{1} e C_{2}.

Passo 4

Aplicação das condições de contorno para determinar C_{1} e C_{2}. Usamos V(x_{1})=-V_{0} e V(x_{2})=+V_{0}. Substituindo na forma geral:
C_{1}x_{1}+C_{2}=-V_{0},
C_{1}x_{2}+C_{2}=+V_{0}.
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar C_{2}:
C_{1}x_{2}-C_{1}x_{1}=V_{0}-(-V_{0})=2V_{0}.
Fatorando C_{1}:
C_{1}(x_{2}-x_{1})=2V_{0}.
Portanto
C_{1}=\frac{2V_{0}}{x_{2}-x_{1}}.
Agora obtenha C_{2} substituindo C_{1} em uma das equações (uso a de x_{1}):
C_{1}x_{1}+C_{2}=-V_{0}\quad\Longrightarrow\quad C_{2}=-V_{0}-C_{1}x_{1}.
Substituindo C_{1}:
C_{2}=-V_{0}-\frac{2V_{0}}{x_{2}-x_{1}}\,x_{1}.

Passo 5

Escrevendo V(x) explicitamente com os C_{1},C_{2} encontrados. Substituindo na expressão V(x)=C_{1}x+C_{2} obtemos uma forma clara e prática:
V(x)=-V_{0}+\frac{2V_{0}}{x_{2}-x_{1}}\,(x-x_{1}).
Esta é uma interpolação linear entre os dois contornos: em x=x_{1} -V_{0} e em x=x_{2} +V_{0}. Alternativamente, podemos escrever em forma centrada:
V(x)=\frac{V_{0}}{x_{2}-x_{1}}\,(2x-x_{1}-x_{2}).
Comentário físico rápido e checagem: a inclinação C_{1}=\dfrac{2V_{0}}{x_{2}-x_{1}} é constante e positiva (porque +V_{0} está à direita de -V_{0}), então o potencial varia linearmente do valor negativo no lado esquerdo para o valor positivo no lado direito. Para checar, substitua x=x_{1} na expressão e confirme V(x_{1})=-V_{0}; substitua x=x_{2} e confirme V(x_{2})=+V_{0}.

Resposta

V(x)=-V_{0}+\frac{2V_{0}}{x_{2}-x_{1}}\,(x-x_{1})

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