2 Dois veículos, de massas M_{1}=1490 \mathrm{Kg} e M_{2}=1810 \mathrm{Kg} e que viajam respectivamente para o leste e para o sul, chocam-se num cruzamento e ficam presos um ao outro. Antes do choque, o veículo de massa M_{1} movia-se com velocidade V_{1}=50,4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, enquanto o veículo de massa M_{2} tinha velocidade V_{2}=44,8 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Considere o eixo x apontando para o leste e o eixo y apontando para o norte e responda as questões abaixo.
(a) Qual a componente x da velocidade dos veículos engavetados após o choque?
(b) Qual a componente y da velocidade dos veículos engavetados após o choque?
(c) Qual o ângulo em relação ao eixo x que dá a direção da velocidade final? Dentre as opções para expressar o ângulo, considere aquela cujo módulo é menor do que 180 graus.
(d) Há conservação de energia mecânica nesta colisão? Explique como você chegou à sua resposta.
(a)
( 10 pontos) (A) -24,6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (B) 20,7 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (C) -17,1 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (D) 22,8 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (E) -19,1 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (F) 31,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (G) -22,8 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (H) -20,7 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (I) 27,4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (J) -28,3 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (K) 24,1 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (L) -13,6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (M) -26,4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (N) 29,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, (O) $-31,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}

Passo 1

O enunciado dá dois veículos que colidiram e ficaram presos (colisão perfeitamente inelástica). As informações fornecidas são:
  • Massa do veículo 1: M_{1}=1490\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do veículo 2: M_{2}=1810\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade do veículo 1 (movendo-se para o leste, eixo x positivo): V_{1}=50{,}4\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • Velocidade do veículo 2 (movendo-se para o sul; eixo y aponta para o norte): V_{2}=44{,}8\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} (como vai para o sul, a componente em y será negativa).
    As perguntas:
    (a) Qual a componente x da velocidade conjunta após o choque?
    (b) Qual a componente y da velocidade conjunta após o choque?
    (c) Qual o ângulo, em relação ao eixo x, da velocidade final? (escolher ângulo cujo módulo < 180^\circ)
    (d) Há conservação da energia mecânica (energia cinética) nesta colisão? Explique.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (expliquei devagar porque você pediu didática): em colisões, quando não há forças externas impulsivas relevantes (como atrito do chão grande durante o tempo do impacto), o momento linear (momentum) total do sistema se conserva. O momento linear é o produto da massa pela velocidade, e é um vetor com componentes x e y. Para cada componente:
\text{momento total inicial na direção }x = \text{momento total final na direção }x,çãçã
\text{momento total inicial na direção }y = \text{momento total final na direção }y.çãçã
Como os carros grudam, a massa final é M=M_{1}+M_{2} e ambos têm a mesma velocidade final \vec{V}_f=(V_{f,x},V_{f,y}). As fórmulas (elementares) são:
V_{f,x}=\frac{M_{1}V_{1,x}+M_{2}V_{2,x}}{M_{1}+M_{2}}, \qquad V_{f,y}=\frac{M_{1}V_{1,y}+M_{2}V_{2,y}}{M_{1}+M_{2}}.
Aqui V_{1,x} é a componente x da velocidade do carro 1, etc. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Determinar as componentes iniciais:
  • O carro 1 vai para o leste (eixo x positivo), logo
V_{1,x}=50{,}4\\ \mathrm{km}/\mathrm{h},\qquad V_{1,y}=0.
  • O carro 2 vai para o sul; como o eixo y aponta para o norte, a componente y é negativa:
V_{2,x}=0,\qquad V_{2,y}=-44{,}8\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
Observação prática: podemos trabalhar diretamente em \mathrm{km}/\mathrm{h} nas fórmulas de momento e velocidade porque as massas estão em kg e aparecem tanto no numerador quanto no denominador; a unidade resultante será \mathrm{km}/\mathrm{h}. Se quiséssemos energia em joules, daí teríamos que converter para \mathrm{m}/\mathrm{s} (vou fazer essa conversão quando calcular energias).

Passo 4

Calcular os momentos (componentes) iniciais numericamente:
p_{x,\text{inicial}}=M_{1}V_{1,x}=1490\cdot 50{,}4=75096
(observe que a unidade é \mathrm{kg}\cdot\mathrm{km}/\mathrm{h}, mas vamos dividir por massa total para obter \mathrm{km}/\mathrm{h}).
p_{y,\text{inicial}}=M_{1}V_{1,y}+M_{2}V_{2,y}=0 + 1810\cdot(-44{,}8) = -81088.

Passo 5

Massa total após colisão:
M=M_{1}+M_{2}=1490+1810=3300\\ \mathrm{kg}.
Agora as componentes da velocidade final (dividindo os momentos pela massa total):
V_{f,x}=\frac{p_{x,\text{inicial}}}{M}=\frac{75096}{3300}\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 22{,}75636\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
Arredondando de forma prática para uma casa decimal (e compatível com as opções do enunciado):
V_{f,x}\approx 22{,}8\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
E a componente y:
V_{f,y}=\frac{p_{y,\text{inicial}}}{M}=\frac{-81088}{3300}\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}\approx -24{,}57212\\ \mathrm{km}/\mathrm{h},
ou seja
V_{f,y}\approx -24{,}6\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.

Passo 6

Direção (ângulo) da velocidade final em relação ao eixo x:
  • A definição que usamos: \theta=\arctan\!\left(\dfrac{V_{f,y}}{V_{f,x}}\right). Como V_{f,y} é negativo e V_{f,x} positivo, o ângulo será negativo (ou dito de outra forma, abaixo do eixo x, para o sudeste).
    Calcule:
\theta=\arctan\!\left(\frac{-24{,}57212}{22{,}75636}\right)=\arctan(-1{,}0795\ldots)\approx -47{,}7^\circ.
Explicação didática sobre a fórmula: a função \arctan dá o ângulo cujo seno/cosseno correspondem à razão das componentes; aqui usamos a razão V_y/V_x. Escolhemos o ângulo no intervalo (-180^\circ,180^\circ]; portanto -47{,}7^\circ é a resposta com módulo menor que 180^\circ.

Passo 7

Verificação de conservação de energia (energia cinética): explicar e calcular com cuidado.
  • Em colisões perfeitamente inelásticas (os corpos grudam), a energia cinética não costuma ser conservada — parte vira calor, som, deformação. Para demonstrar numericamente, calculo a energia cinética inicial e final em joules (convertendo velocidades para \mathrm{m}/\mathrm{s}):
    • Conversões: 1\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}=1/3{,}6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
    • V_{1}=50{,}4\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}=50{,}4/3{,}6=14{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
    • V_{2}=44{,}8\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}=44{,}8/3{,}6\approx 12{,}4444\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
    • Componentes finais em \mathrm{m}/\mathrm{s}: V_{f,x}\approx \frac{22{,}75636}{3{,}6}\approx 6{,}32121\\ \mathrm{m}/\mathrm{s},\qquad V_{f,y}\approx \frac{-24{,}57212}{3{,}6}\approx -6{,}82559\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
    • Módulo da velocidade final: V_{f}=\sqrt{V_{f,x}^{2}+V_{f,y}^{2}}\approx \sqrt{6{,}32121^{2}+(-6{,}82559)^{2}}\approx 9{,}302\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Energia cinética inicial:
K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}M_{1}V_{1}^{2}+\tfrac{1}{2}M_{2}V_{2}^{2} =\tfrac{1}{2}\cdot 1490\cdot 14{,}0^{2}+\tfrac{1}{2}\cdot 1810\cdot 12{,}4444^{2} \approx 286\,239\\ \mathrm{J}.
  • Energia cinética final (ambos juntos, massa 3300\\ \mathrm{kg}):
K_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}(M_{1}+M_{2})V_{f}^{2} =\tfrac{1}{2}\cdot 3300\cdot 9{,}302^{2}\approx 142\,781\\ \mathrm{J}.
  • Comparando: K_{\text{final}} é muito menor que K_{\text{inicial}} (cerca da metade). Portanto a energia cinética diminuiu — não há conservação da energia mecânica aqui. A diferença é energia dissipada em deformação, calor, som, etc., típico de colisões inelásticas.

Resposta

(a) \,V_{f,x}=22{,}8\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
(b) \,V_{f,y}=-24{,}6\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
(c) \,\theta\approx -47{,}7^\circ (medido a partir do eixo x, negativo indicando direção abaixo do eixo x)
(d) Não. A energia cinética inicial ( \approx 286\,239\\ \mathrm{J}) é maior que a final ( \approx 142\,781\\ \mathrm{J}), logo parte da energia foi dissipada — colisão inelástica.

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