O valor máximo da soma de dois vetores é 20 e o valor mínimo é 4. Determine o módulo de cada vetor

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a soma de dois vetores pode ter um valor máximo de 20 e um valor mínimo de 4. Nosso objetivo é descobrir o módulo (ou tamanho) de cada um desses vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de adição de vetores e propriedades dos módulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando somamos dois vetores, o módulo da soma depende do ângulo entre eles. Se os vetores estiverem na mesma direção, a soma será máxima, e se estiverem em direções opostas, a soma será mínima.
Matematicamente, podemos representar isso assim:
  • Módulo máximo da soma: $ |A| + |B| = 20 $
  • Módulo mínimo da soma: $ ||A| - |B|| = 4 $

Passo 3

Agora, vamos chamar o módulo dos vetores de $ a $ e $ b $. Então temos o seguinte sistema de equações:
a

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. O segundo caso tem valor absoluto, então precisamos considerar duas possibilidades:
Caso 1:
a - b = 4
Somando com a primeira equação:
(a + b) + (a - b) = 20 + 4 2a = 24 a = 12
Substituindo na primeira equação:
12 + b = 20 b = 8
Caso 2:
b - a = 4
Somando com a primeira equação:
(a + b) + (b - a) = 20 + 4 2b = 24 b = 12
Substituindo na primeira equação:
a + 12 = 20 a = 8

Resposta

Os módulos dos vetores são 8 e 12.

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