O valor máximo da soma de dois vetores é 20 e o valor mínimo é 4. Determine o módulo de cada vetor
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a soma de dois vetores pode ter um valor máximo de 20 e um valor mínimo de 4. Nosso objetivo é descobrir o módulo (ou tamanho) de cada um desses vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de adição de vetores e propriedades dos módulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando somamos dois vetores, o módulo da soma depende do ângulo entre eles. Se os vetores estiverem na mesma direção, a soma será máxima, e se estiverem em direções opostas, a soma será mínima.
Matematicamente, podemos representar isso assim:
- Módulo máximo da soma: $ |A| + |B| = 20 $
- Módulo mínimo da soma: $ ||A| - |B|| = 4 $
Passo 3
Agora, vamos chamar o módulo dos vetores de $ a $ e $ b $. Então temos o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. O segundo caso tem valor absoluto, então precisamos considerar duas possibilidades:
Caso 1:
Somando com a primeira equação:
Substituindo na primeira equação:
Caso 2:
Somando com a primeira equação:
Substituindo na primeira equação:
Resposta
Os módulos dos vetores são 8 e 12.