Qual o valor máximo de uma tensão senoidal cujo valor é 10 V no instante \mathrm{t}=15 \mathrm{~ms}, sendo sua frequência 100 Hz ?

Passo 1

O enunciado pede o valor máximo (ou seja, a amplitude de pico) de uma tensão senoidal, sabendo que ela vale 10\\ \mathrm{V} no instante t=15\\ \mathrm{ms} e que a frequência é 100\\ \mathrm{Hz}.
Informações dadas (peguei esses valores do enunciado):
  • v(15\\ \mathrm{ms}) = 10\\ \mathrm{V}.
  • t_0 = 15\\ \mathrm{ms} = 0{,}015\\ \mathrm{s}.
  • f = 100\\ \mathrm{Hz}.
O que exatamente se quer: o valor máximo (pico) da senóide, normalmente denotado por V_m.

Passo 2

Vou escrever a forma geral de uma tensão senoidal e explicar cada termo: a forma mais usada é
v(t)=V_{m}\sin(\omega t+\varphi),
onde:
  • v(t) é a tensão instantânea no tempo t;
  • V_{m} é a amplitude (valor máximo de pico) que queremos encontrar;
  • \omega é a frequência angular, dada por \omega=2\pi f (rad/s);
  • \varphi é a fase inicial (deslocamento de fase) em radianos.
Aqui ainda não sabemos \varphi — o enunciado não deu fase.

Passo 3

Calcular a frequência angular \omega usando \omega=2\pi f:
\omega = 2\pi\cdot 100 = 200\pi\\ \text{rad/s}.
Avalio o argumento da senóide no instante dado:
\omega t_0 = 200\pi \cdot 0{,}015 = 3\pi\\ \text{rad}.
Portanto, a equação no instante t_0 fica
v(t_0)=V_{m}\sin(3\pi+\varphi)=10\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Isolar V_{m} em função da fase \varphi:
V_{m}=\frac{10}{\sin(3\pi+\varphi)}.
Usando periodicidade da função seno, note que 3\pi=\pi+2\pi e \sin(3\pi+\varphi)=\sin(\pi+\varphi)=-\sin(\varphi). Assim dá-se uma forma mais simples:
V_{m}=-\frac{10}{\sin(\varphi)}.
Isso mostra explicitamente que V_{m} depende da fase \varphi. Como o enunciado não fornece \varphi, não há um único valor possível para V_{m} — há uma família de soluções, uma para cada \varphi tal que \sin(\varphi)\neq 0.

Passo 5

Explicar limites e impossibilidades:
  • Como |\sin(\cdot)|\le 1, tem-se
|V_{m}|=\frac{|10|}{|\sin(3\pi+\varphi)|}\ge 10.
Logo o menor valor possível para |V_{m}| é 10\\ \mathrm{V}. Esse mínimo é atingido quando |\sin(3\pi+\varphi)|=1, isto é, quando a medição ocorre exatamente no pico instantâneo da senóide (ou no vale, com sinal apropriado).
  • Se alguém assumir (incorretamente) \varphi=0 (ou seja, nenhuma fase), então \sin(3\pi)=0 e a equação V_{m}\sin(3\pi)=10 não tem solução finita — ou seja, com \varphi=0 não é possível obter v(15\\ \mathrm{ms})=10\\ \mathrm{V}. Isso confirma que uma fase diferente de zero é necessária.

Passo 6

Vou dar exemplos concretos (para fixar a ideia):
  • Se escolher \varphi=-\dfrac{\pi}{2}, então \sin(3\pi+\varphi)=\sin\!\bigl(3\pi-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{5\pi}{2}\bigr)=1. Assim
V_{m}=\frac{10}{1}=10\\ \mathrm{V}.
  • Se escolher \varphi=\dfrac{\pi}{6}, então \sin(3\pi+\varphi)=-\sin(\pi/6)=-\tfrac{1}{2} e
V_{m}=-\frac{10}{-\tfrac{1}{2}}=20\\ \mathrm{V}.
Esses exemplos mostram que, mudando \varphi, obtém-se diferentes valores de V_{m}, todos consistentes com a mesma leitura instantânea 10\\ \mathrm{V} em t=15\\ \mathrm{ms}.

Passo 7

Conclusão prática e interpretação para prova:
  • Com os dados fornecidos (apenas uma amostra instantânea e a frequência) NÃO se pode determinar unicamente a amplitude V_{m} — falta a fase \varphi ou uma segunda medição num outro instante.
  • O que se pode afirmar com certeza é que o menor valor possível para a amplitude é 10\\ \mathrm{V}. Portanto, se o enunciado quer um número e não dá fase, o único valor seguro é que o pico é no mínimo 10\\ \mathrm{V}. Se for permitida assumir uma fase que leve o ponto ao pico, então V_{m}=10\\ \mathrm{V}.

Resposta

Não é possível determinar unicamente V_{m} sem a fase; o menor valor possível é V_{m}=10\\ \mathrm{V}.

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