Uma corrente alternada de valor eficaz 10 \mathrm{~A} / 60 \mathrm{~Hz} inicia seu semiciclo no instante \mathrm{t}=0 \mathrm{~s}. Determine os instantes de tempo que essa corrente atinge o valor de \pm 5 \mathrm{~A} em um período.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os instantes de tempo, em um período, nos quais a corrente alternada atinge os valores \pm 5\\ \mathrm{A}. Dados fornecidos:
  • corrente eficaz \;I_{\mathrm{rms}}=10\\ \mathrm{A};
  • frequência \;f=60\\ \mathrm{Hz};
  • "inicia seu semiciclo no instante \;t=0\\ \mathrm{s}" (interpretarei como a corrente tendo uma passagem por zero em t=0 iniciando o semiciclo positivo, ou seja, forma sinusoidal com fase zero naquele instante).
    O que vamos encontrar: todos os instantes t no intervalo de um período \;0\le t< T tal que i(t)=+5\\ \mathrm{A} e i(t)=-5\\ \mathrm{A}.

Passo 2

Primeiro transformar a informação RMS em amplitude (valor de pico). Para uma senóide:
I_{\mathrm{rms}}=\frac{I_{\mathrm{max}}}{\sqrt{2}}.
Aqui I_{\mathrm{rms}} é o valor eficaz (dado), I_{\mathrm{max}} é a amplitude (valor de pico) que queremos calcular. Portanto:
I_{\mathrm{max}} = I_{\mathrm{rms}}\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\\ \mathrm{A}.
Isso significa que a corrente instantânea varia entre \pm 10\sqrt{2}\\ \mathrm{A}.

Passo 3

Escolhemos a forma temporal da corrente compatível com "passagem por zero em t=0" e semiciclo positivo iniciando em t=0:
i(t)=I_{\mathrm{max}}\sin(\omega t),
onde \omega é a frequência angular. Aqui:
  • i(t) é a corrente instantânea em ampères;
  • \omega=2\pi f é a frequência angular em \mathrm{rad/s};
  • f=60\\ \mathrm{Hz} (dado).
    Calculemos \omega e o período T:
\omega=2\pi f = 2\pi\cdot 60 = 120\pi\\ \mathrm{rad/s}, \qquad T=\frac{1}{f}=\frac{1}{60}\\ \mathrm{s}\approx 0{,}0166667\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Agora escrevemos as equações para os valores desejados:
  1. Para i(t)=+5\\ \mathrm{A}:
I_{\mathrm{max}}\sin(\omega t)=5 \quad\Rightarrow\quad \sin(\omega t)=\frac{5}{I_{\mathrm{max}}}.
  1. Para i(t)=-5\\ \mathrm{A}:
I_{\mathrm{max}}\sin(\omega t)=-5 \quad\Rightarrow\quad \sin(\omega t)=-\frac{5}{I_{\mathrm{max}}}.
Definimos a razão
s \equiv \frac{5}{I_{\mathrm{max}}}=\frac{5}{10\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.
Para resolver \sin x = a lembramos que as soluções gerais são
x = \arcsin(a) + 2\pi n \quad\text{ou}\quad x = \pi - \arcsin(a) + 2\pi n,
com n inteiro. Iremos aplicar isso a x=\omega t e escolher as soluções que caem no intervalo 0\le t< T.

Passo 5

Calculemos numericamente s e o ângulo principal \theta=\arcsin(s):
s=\frac{1}{2\sqrt{2}}\approx 0{,}3535533906,
\theta=\arcsin(s)\approx 0{,}3613671239\\ \text{rad}\approx 20{,}704812^\circ.
Soluções para i(t)=+5\\ \mathrm{A} (ou seja \sin(\omega t)=+s):
\omega t = \theta + 2\pi n \quad\text{ou}\quad \omega t = \pi - \theta + 2\pi n.
Dividindo por \omega:
t = \frac{\theta}{\omega} + \frac{2\pi n}{\omega} \quad\text{ou}\quad t = \frac{\pi - \theta}{\omega} + \frac{2\pi n}{\omega}.
Soluções para i(t)=-5\\ \mathrm{A} (ou seja \sin(\omega t)=-s):
\omega t = -\theta + 2\pi n \quad\text{ou}\quad \omega t = \pi + \theta + 2\pi n,
portanto
t = \frac{-\theta}{\omega} + \frac{2\pi n}{\omega} \quad\text{ou}\quad t = \frac{\pi+\theta}{\omega} + \frac{2\pi n}{\omega}.

Passo 6

Agora selecionamos os valores com n tais que 0\le t< T (um período). Note a identificação útil:
\frac{2\pi}{\omega}=\frac{1}{f}=T.
Assim, as quatro soluções em um período (ordenadas em tempo) são obtidas tomando n=0 nas fórmulas apropriadas e, quando necessário, somando T para manter t positivo. Calculando numericamente (usando \omega=120\pi, \theta dado acima e T=1/60):
Cálculos (valores aproximados):
t_{1}=\frac{\theta}{\omega}\approx 0{,}00095854\\ \mathrm{s}\quad(\text{primeira vez em que }i=+5\\ \mathrm{A}),
t_{2}=\frac{\pi-\theta}{\omega}\approx 0{,}00737479\\ \mathrm{s}\quad(\text{segunda vez em que }i=+5\\ \mathrm{A}),
t_{3}=\frac{\pi+\theta}{\omega}\approx 0{,}00929189\\ \mathrm{s}\quad(\text{primeira vez em que }i=-5\\ \mathrm{A}),
t_{4}=\frac{2\pi-\theta}{\omega}=T-\frac{\theta}{\omega}\approx 0{,}01570813\\ \mathrm{s}\quad(\text{segunda vez em que }i=-5\\ \mathrm{A}).
Para checar a ordem temporal: dentro do período 0\le t< T aparecem, em ordem crescente,
t_{1}\\ (i=+5),\; t_{2}\\ (i=+5),\; t_{3}\\ (i=-5),\; t_{4}\\ (i=-5).
Os valores em milissegundos (aprox.) são:
t_{1}\approx 0{,}9585\\ \mathrm{ms},\quad t_{2}\approx 7{,}3748\\ \mathrm{ms},\quad t_{3}\approx 9{,}2919\\ \mathrm{ms},\quad t_{4}\approx 15{,}7081\\ \mathrm{ms}.

Resposta

t \approx 0{,}00095854\\ \mathrm{s} (para i=+5\\ \mathrm{A})
t \approx 0{,}00737479\\ \mathrm{s} (para i=+5\\ \mathrm{A})
t \approx 0{,}00929189\\ \mathrm{s} (para i=-5\\ \mathrm{A})
t \approx 0{,}01570813\\ \mathrm{s} (para i=-5\\ \mathrm{A})

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