Para cada uma das funções abaixo determine os valores de Vp ou Ip, f, \omega, T, fase inicial e esboce os gráficos de tensão e corrente em função do tempo e da posição angular ( \mathrm{v} \times \mathrm{t}; v x \omega \mathrm{t}; i x t ; i x \omega \mathrm{t} ).
\mathrm{v}(\mathrm{t})=50 \operatorname{sen}(100 \mathrm{t}) \mathrm{V}

Passo 1

O enunciado dá uma única função de tensão no tempo e pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Dado: \mathrm{v}(t)=50\operatorname{sen}(100\,t)\\ \mathrm{V}.
  • O que pedir: determinar
    • V_p (valor de pico da tensão) ou I_p (se fosse corrente);
    • f (frequência em Hz);
    • \omega (frequência angular em rad/s);
    • T (período em s);
    • fase inicial (ângulo de fase no argumento do seno);
    • esboçar os gráficos: v versus t, v versus \omega t, i versus t, i versus \omega t.
Observação importante: o enunciado fornece apenas a tensão v(t). Não foi dada nenhuma informação sobre corrente nem sobre circuito (resistência, impedância, etc.). Portanto é possível determinar todos os parâmetros e gráficos relativos à tensão, mas não há como obter I_p nem o gráfico de corrente real sem mais dados do circuito. Em passos posteriores explico esse ponto e mostro como seria a relação geral tensão-corrente se houvesse uma impedância.

Passo 2

Entendendo a forma padrão de uma onda senoidal e como extrair parâmetros.
Uma forma geral útil para sinais senoidais é
\mathrm{v}(t)=V_p\operatorname{sen}\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • V_p é a amplitude de pico (valor máximo absoluto da tensão);
  • \omega é a frequência angular em \mathrm{rad/s};
  • \varphi é a fase inicial (em radianos), deslocamento horizontal do seno;
  • a frequência em hertz é dada por f=\dfrac{\omega}{2\pi};
  • o período é T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{2\pi}{\omega}.
Explicando em palavras simples: a função \operatorname{sen}(\cdot) oscila entre -1 e +1; multiplicando por V_p obtemos a tensão máxima +V_p e mínima -V_p. O termo \omega t+\varphi manda a onda girar no “ângulo” interno do seno; \omega controla a rapidez da oscilação e \varphi desloca a curva à esquerda ou à direita.

Passo 3

Identificar amplitude V_p a partir da expressão dada.
A expressão é \mathrm{v}(t)=50\operatorname{sen}(100\,t). Comparando com a forma padrão V_p\operatorname{sen}(\omega t+\varphi), vê-se imediatamente que:
V_p = 50\\ \mathrm{V}.
Isso significa que a tensão atinge +50\\ \mathrm{V} no pico positivo e -50\\ \mathrm{V} no pico negativo.

Passo 4

Identificar \omega (frequência angular).
Na expressão o argumento do seno é 100\,t, ou seja \omega t com \omega=100. Portanto:
\omega = 100\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Calcular a frequência f em hertz.
Usando a relação f=\dfrac{\omega}{2\pi}, substituímos \omega=100:
f=\dfrac{100}{2\pi} \approx \dfrac{100}{6{,}283185307} \approx 15{,}915\\ \mathrm{Hz}.
(Arredondei para três casas decimais: 15{,}915\\ \mathrm{Hz}.)

Passo 6

Calcular o período T.
Usando T=\dfrac{1}{f} ou T=\dfrac{2\pi}{\omega}:
T=\dfrac{2\pi}{100} = \dfrac{2\cdot 3{,}14159265}{100} \approx 0{,}062832\\ \mathrm{s}.
(Arredondado: T \approx 0{,}06283\\ \mathrm{s}.)

Passo 7

Determinar a fase inicial.
Na expressão 50\operatorname{sen}(100\,t) o argumento é exatamente \omega t sem termo adicional. Logo a fase inicial é
\varphi = 0\\ \text{rad} \quad (\,0^\circ\,).
Interpretação: no instante t=0 o seno vale \operatorname{sen}(0)=0, então a tensão começa em zero. Como a derivada no tempo é positiva (veja Passo 8) a tensão cruza o zero subindo para valores positivos no início.

Passo 8

Valor inicial e inclinação inicial (ajuda para esboço).
Calcular v(0) e \dfrac{dv}{dt}\Big|_{t=0} para saber como o sinal começa.
v(0)=50\operatorname{sen}(0)=0\\ \mathrm{V}.
Derivada:
\frac{dv}{dt}=50\omega\cos(\omega t)=50\cdot100\cos(100t)=5000\cos(100t).
Então em t=0:
\frac{dv}{dt}\Big|_{t=0}=5000\cos(0)=5000\\ \mathrm{V/s}>0.
Portanto o traçado começa em zero e está aumentando (cruzamento ascendente). Isso é útil para desenhar corretamente a fase da senóide.

Passo 9

Como esboçar os gráficos v versus t e v versus \omega t — pontos chave e instruções passo a passo.
Vou indicar pontos significativos por frações do período e também em termos do argumento \omega t, para que você consiga desenhar à mão sem precisar de calculadora complicada.
Pontos no tempo (usando T):
  • t=0: v=0.
  • t=\dfrac{T}{4}: aqui \omega t=\dfrac{\pi}{2}, então v=50\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=50\\ \mathrm{V} (pico positivo).
  • t=\dfrac{T}{2}: \omega t=\pi, v=50\operatorname{sen}(\pi)=0 (zero cruzando descendente).
  • t=\dfrac{3T}{4}: \omega t=\tfrac{3\pi}{2}, v=50\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-50\\ \mathrm{V} (pico negativo).
  • t=T: \omega t=2\pi, v=0 (um ciclo completo).
Números concretos (usando T\approx0{,}06283\\ \mathrm{s}):
  • t=0: v=0.
  • t=T/4\approx0{,}01571\\ \mathrm{s}: v=+50\\ \mathrm{V}.
  • t=T/2\approx0{,}03142\\ \mathrm{s}: v=0.
  • t=3T/4\approx0{,}04712\\ \mathrm{s}: v=-50\\ \mathrm{V}.
  • t=T\approx0{,}06283\\ \mathrm{s}: v=0.
Instruções para esboço v vs t:
  • No eixo horizontal marque 0, T/4, T/2, 3T/4, T com os valores acima.
  • No eixo vertical marque +50\\ \mathrm{V} e -50\\ \mathrm{V}.
  • Ligue os pontos com uma curva senoidal suave, começando em zero com inclinação positiva, atingindo +50 em T/4, etc.
Gráfico v versus \omega t:
  • Substitua x=\omega t. A função torna-se v(x)=50\operatorname{sen}(x) onde x varia em radianos.
  • Um ciclo completo corresponde a x indo de 0 a 2\pi.
  • Pontos importantes: x=0\Rightarrow v=0, x=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow v=+50, x=\pi\Rightarrow v=0, x=\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow v=-50, x=2\pi\Rightarrow v=0.
  • Desenhe um seno padrão em eixo horizontal em radianos de 0 a 2\pi, amplitude 50.
Observação: esses dois gráficos são geometricamente iguais; a diferença é a escala do eixo horizontal (tempo absoluto em segundos versus ângulo adimensional \omega t em radianos). Em provas costuma-se desenhar ambos para mostrar entendimento.

Passo 10

Comentários sobre a corrente i(t) e seus gráficos (por que não é possível determinar sem mais informações; formas gerais caso se conheça a impedância).
Como informado no Passo 1, o enunciado não dá nenhuma informação sobre corrente nem sobre circuito (por exemplo, resistência R, impedância Z, ou uma expressão para i(t)). Por isso:
  • Não é possível determinar numericamente I_p nem a fase da corrente nem desenhar exatamente i(t) ou i versus \omega t sem conhecer o circuito que relaciona tensão e corrente.
No entanto, a relação geral é a seguinte (para que você entenda como seria na prova se soubessem o circuito):
  • Em notação fasorial, se a impedância do circuito for Z (número complexo), a amplitude da corrente é
I_p=\dfrac{V_p}{|Z|},
e a fase da corrente \varphi_i é a fase da tensão \varphi_v menos o argumento de Z:
\varphi_i=\varphi_v-\angle Z.
  • Em termos do tempo, a forma seria
\mathrm{i}(t)=I_p\operatorname{sen}\bigl(\omega t+\varphi_i\bigr).
Exemplos rápidos (apenas ilustrativos):
  • Se o circuito for puramente resistivo ( Z=R>0, ângulo 0), então I_p=V_p/R e a corrente está em fase com a tensão ( \varphi_i=\varphi_v); o gráfico de i tem a mesma forma que v apenas escalado.
  • Se o circuito for puramente indutivo ideal ( Z=j\omega L, ângulo +\tfrac{\pi}{2}), então a corrente atrasa a tensão de \tfrac{\pi}{2} (ou tensão adianta a corrente).
  • Se for capacitivo ( Z=1/(j\omega C), ângulo -\tfrac{\pi}{2}), a corrente adianta a tensão por \tfrac{\pi}{2}.
Mas repito: sem um valor de Z (ou R, L, C ou expressão de i(t)) não se pode dar números para I_p nem desenhar o gráfico numérico de corrente.

Resposta

V_p = 50\\ \mathrm{V}
\omega = 100\\ \mathrm{rad/s}
f = \dfrac{100}{2\pi} \approx 15{,}915\\ \mathrm{Hz}
T = \dfrac{2\pi}{100} \approx 0{,}06283\\ \mathrm{s}
fase inicial = 0\\ \mathrm{rad}\\ (0^\circ)
Não é possível determinar I_p nem o gráfico de corrente sem informação adicional sobre o circuito (impedância).

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