Qual o valor máximo de x+y sujeito à restrição x{2}+y{2}=1 ?
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o valor máximo de
sujeito à restrição
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A variável
é um par real que satisfaz (ou seja, está sobre o círculo unitário). - A pergunta é: qual é o maior valor possível de
quando varia nesse círculo?
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicada devagar): queremos maximizar uma função linear
sobre todos os pontos do círculo unitário. Uma maneira simples — que não precisa de derivadas — é usar uma identidade que leva diretamente à desigualdade de Cauchy–Schwarz no caso bidimensional. Vou mostrar a identidade e como ela implica uma desigualdade útil.
Passo 3
Mostrando a identidade que ajuda (é uma forma elemental da desigualdade de Cauchy para dois componentes). Para quaisquer reais
vale a identidade:
Explicando termos:
é o produto escalar entre os vetores
e
;
e
são os quadrados das normas desses vetores. A identidade é verdadeira porque ao expandir os dois quadrados do lado esquerdo os termos cruzados se cancelam e sobra exatamente o lado direito.
Passo 4
Da identidade segue uma desigualdade simples: como
, tem-se
Isto é a forma bidimensional da desigualdade de Cauchy–Schwarz. Será usada com
para tratar
.
Passo 5
Aplicando com
: substituindo na desigualdade obtemos
Como a restrição diz que
, concluímos
Isso significa que
nunca pode ter quadrado maior que
. (Não estou escrevendo aqui a frase “o máximo é …” — guardo isso para a resposta final conforme pedido.)
Passo 6
Quando ocorre igualdade na desigualdade de Cauchy? Pela identidade a igualdade ocorre exatamente quando
. Com
isso dá
, ou seja
. Juntando com a restrição
e substituindo
obtemos
Para maximizar
precisamos da solução com sinais positivos (pois
quando
), então escolhemos
.
Passo 7
Resumo interpretativo e verificação rápida (opcional, para fixar): no ponto
temos
, e já sabemos por
que não existe valor maior. Assim a configuração
realmente atinge o maior valor possível.