Qual o valor máximo de x+y sujeito à restrição x{2}+y{2}=1 ?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o valor máximo de x+y sujeito à restrição \,x^{2}+y^{2}=1.
Informações dadas:
  • A variável (x,y) é um par real que satisfaz \,x^{2}+y^{2}=1 (ou seja, (x,y) está sobre o círculo unitário).
  • A pergunta é: qual é o maior valor possível de x+y quando (x,y) varia nesse círculo?

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicada devagar): queremos maximizar uma função linear x+y sobre todos os pontos do círculo unitário. Uma maneira simples — que não precisa de derivadas — é usar uma identidade que leva diretamente à desigualdade de Cauchy–Schwarz no caso bidimensional. Vou mostrar a identidade e como ela implica uma desigualdade útil.

Passo 3

Mostrando a identidade que ajuda (é uma forma elemental da desigualdade de Cauchy para dois componentes). Para quaisquer reais a,b,x,y vale a identidade:
(ax+by)^{2} + (a y - b x)^{2} = (a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2}).
Explicando termos: ax+by é o produto escalar entre os vetores (a,b) e (x,y); a^{2}+b^{2} e x^{2}+y^{2} são os quadrados das normas desses vetores. A identidade é verdadeira porque ao expandir os dois quadrados do lado esquerdo os termos cruzados se cancelam e sobra exatamente o lado direito.

Passo 4

Da identidade segue uma desigualdade simples: como (a y - b x)^{2}\ge0, tem-se
(ax+by)^{2} \le (a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2}).
Isto é a forma bidimensional da desigualdade de Cauchy–Schwarz. Será usada com a=b=1 para tratar x+y.

Passo 5

Aplicando com a=b=1: substituindo na desigualdade obtemos
(x+y)^{2} \le (1^{2}+1^{2})(x^{2}+y^{2}) = 2\,(x^{2}+y^{2}).
Como a restrição diz que x^{2}+y^{2}=1, concluímos
(x+y)^{2} \le 2.
Isso significa que x+y nunca pode ter quadrado maior que 2. (Não estou escrevendo aqui a frase “o máximo é …” — guardo isso para a resposta final conforme pedido.)

Passo 6

Quando ocorre igualdade na desigualdade de Cauchy? Pela identidade a igualdade ocorre exatamente quando (a y - b x)^{2}=0. Com a=b=1 isso dá y - x = 0, ou seja y=x. Juntando com a restrição \,x^{2}+y^{2}=1 e substituindo y=x obtemos
2x^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm \tfrac{1}{\sqrt{2}}.
Para maximizar x+y precisamos da solução com sinais positivos (pois x+y=2x quando y=x), então escolhemos x=y=\tfrac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 7

Resumo interpretativo e verificação rápida (opcional, para fixar): no ponto x=y=\tfrac{1}{\sqrt{2}} temos x+y=2\cdot \tfrac{1}{\sqrt{2}}=\tfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}, e já sabemos por (x+y)^{2}\le2 que não existe valor maior. Assim a configuração x=y=\tfrac{1}{\sqrt{2}} realmente atinge o maior valor possível.

Resposta

\sqrt{2}

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