Calcule
. Usando
e
:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado: calcular a integral indefinida
usando as substituições sugeridas
e
. Ou seja, encontrar uma primitiva da função
.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (identidade produto-soma). Vou deduzir a identidade de forma direta e simples:
começamos das fórmulas de cosseno para soma e diferença:
começamos das fórmulas de cosseno para soma e diferença:
Subtraindo a segunda da primeira obtemos
Isolando o produto de senos:
Esta identidade é útil porque transforma produto de senos em soma de cossenos, que são fáceis de integrar.
Passo 3
Aplicar a identidade com
e
. Substituindo:
Calcule os argumentos:
Como
é função par,
. Então
Passo 4
Substituir na integral:
Agora integramos termo a termo. Lembrete da primitiva básica: para
,
porque a derivada de
é
.
Passo 5
Aplicando a fórmula para cada termo:
Como a integral tem
, combinando os sinais obtemos a primitiva
Passo 6
Cheque rápido por diferenciação (confirmação): derivando
tem-se
que pela identidade produto-soma é exatamente
. Então a primitiva está correta.