Calcule \int \operatorname{sen}(15 x) \operatorname{sen}(20 x) d x. Usando \alpha=15 x e \beta=20 x :

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}(15x)\,\operatorname{sen}(20x)\,dx,
usando as substituições sugeridas \alpha=15x e \beta=20x. Ou seja, encontrar uma primitiva da função x\mapsto \operatorname{sen}(15x)\operatorname{sen}(20x).

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (identidade produto-soma). Vou deduzir a identidade de forma direta e simples:
começamos das fórmulas de cosseno para soma e diferença:
\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta,
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta.
Subtraindo a segunda da primeira obtemos
\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2\,\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta.
Isolando o produto de senos:
\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta=\tfrac{1}{2}\big(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\big).
Esta identidade é útil porque transforma produto de senos em soma de cossenos, que são fáceis de integrar.

Passo 3

Aplicar a identidade com \alpha=15x e \beta=20x. Substituindo:
\operatorname{sen}(15x)\operatorname{sen}(20x)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(15x-20x)-\cos(15x+20x)\big).
Calcule os argumentos:
15x-20x=-5x,\qquad 15x+20x=35x.
Como \cos é função par, \cos(-5x)=\cos(5x). Então
\operatorname{sen}(15x)\operatorname{sen}(20x)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(5x)-\cos(35x)\big).

Passo 4

Substituir na integral:
\int \operatorname{sen}(15x)\operatorname{sen}(20x)\,dx =\tfrac{1}{2}\int\big(\cos(5x)-\cos(35x)\big)\,dx.
Agora integramos termo a termo. Lembrete da primitiva básica: para k\neq 0,
\int \cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\operatorname{sen}(kx)+C,
porque a derivada de \operatorname{sen}(kx) é k\cos(kx).

Passo 5

Aplicando a fórmula para cada termo:
\tfrac{1}{2}\int\cos(5x)\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}\operatorname{sen}(5x)=\frac{1}{10}\operatorname{sen}(5x),
\tfrac{1}{2}\int\cos(35x)\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{35}\operatorname{sen}(35x)=\frac{1}{70}\operatorname{sen}(35x).
Como a integral tem \cos(5x)-\cos(35x), combinando os sinais obtemos a primitiva
\frac{1}{10}\operatorname{sen}(5x)-\frac{1}{70}\operatorname{sen}(35x)+C.

Passo 6

Cheque rápido por diferenciação (confirmação): derivando \frac{1}{10}\operatorname{sen}(5x)-\frac{1}{70}\operatorname{sen}(35x) tem-se
\frac{1}{10}\cdot 5\cos(5x)-\frac{1}{70}\cdot 35\cos(35x)=\tfrac{1}{2}\cos(5x)-\tfrac{1}{2}\cos(35x)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(5x)-\cos(35x)\big),
que pela identidade produto-soma é exatamente \operatorname{sen}(15x)\operatorname{sen}(20x). Então a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{10}\operatorname{sen}(5x)-\frac{1}{70}\operatorname{sen}(35x)+C

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