\int \operatorname{sen}(15 x) \operatorname{sen}(20 x) d x=\int \frac{1}{2}[\cos (15 x-20 x)-\cos (15 x+20 x)] d x \
= \frac{1}{2} \int \cos (-5 x) d x-\frac{1}{2} \int \cos (35 x) d x . Usando as substituições u=-5 x \Rightarrow d u=-5 d x \
= \frac{1}{2} \int \cos (-5 x) d x-\frac{1}{2} \int \cos (35 x) d x . Usando as substituições u=-5 x \Rightarrow d u=-5 d x \
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Dado o integral
. - No enunciado já foi usada a identidade produto-para-soma e obtivemos a forma
- Também foi sugerida a substituição
(assim ).
O objetivo é calcular essas integrais e escrever a primitiva completa, com constante de integração.
Passo 2
Lembrete / derivação rápida da identidade produto-para-soma usada:
A identidade
A identidade
vem de usar as fórmulas de soma e diferença do cosseno:
Subtraindo as duas igualdades:
logo divide-se por
e obtém-se a identidade acima. Aplicando com
e
chega-se exatamente na expressão fornecida.
Passo 3
Reescrevendo explicitamente:
Passo 4
Observação útil sobre
: o cosseno é uma função par, ou seja
para todo
. Então
o que simplifica a primeira integral para
.
Passo 5
Como integrar
? Método padrão: usar substituição linear
. Então
Aplicando isso à primeira parte com
:
(Se alguém usar a substituição sugerida
, temos
e
. Como
, isso também dá
; multiplicando por
obtém-se de novo
.)
Passo 6
Agora a segunda parte, com
:
Passo 7
Somando as duas parcelas e lembrando da constante de integração
, a primitiva geral é a soma dos resultados parciais.