\int \operatorname{sen}(15 x) \operatorname{sen}(20 x) d x=\int \frac{1}{2}[\cos (15 x-20 x)-\cos (15 x+20 x)] d x \
= \frac{1}{2} \int \cos (-5 x) d x-\frac{1}{2} \int \cos (35 x) d x . Usando as substituições u=-5 x \Rightarrow d u=-5 d x \

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dado o integral \displaystyle \int \operatorname{sen}(15x)\,\operatorname{sen}(20x)\,dx.
  • No enunciado já foi usada a identidade produto-para-soma e obtivemos a forma
\frac{1}{2}\int \cos(-5x)\,dx - \frac{1}{2}\int \cos(35x)\,dx.
  • Também foi sugerida a substituição u=-5x (assim du=-5\,dx).
    O objetivo é calcular essas integrais e escrever a primitiva completa, com constante de integração.

Passo 2

Lembrete / derivação rápida da identidade produto-para-soma usada:
A identidade
\sin A\sin B=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr]
vem de usar as fórmulas de soma e diferença do cosseno:
\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B, \qquad \cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B.
Subtraindo as duas igualdades:
\cos(A-B)-\cos(A+B)=2\sin A\sin B,
logo divide-se por 2 e obtém-se a identidade acima. Aplicando com A=15x e B=20x chega-se exatamente na expressão fornecida.

Passo 3

Reescrevendo explicitamente:
\int \sin(15x)\sin(20x)\,dx = \tfrac{1}{2}\int \cos(-5x)\,dx - \tfrac{1}{2}\int \cos(35x)\,dx.

Passo 4

Observação útil sobre \cos(-5x): o cosseno é uma função par, ou seja \cos(-t)=\cos t para todo t. Então
\cos(-5x)=\cos(5x),
o que simplifica a primeira integral para \tfrac{1}{2}\int \cos(5x)\,dx.

Passo 5

Como integrar \int \cos(kx)\,dx? Método padrão: usar substituição linear u=kx\Rightarrow du=k\,dx. Então
\int \cos(kx)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{du}{k} = \frac{1}{k}\sin(u)+C = \frac{1}{k}\sin(kx)+C.
Aplicando isso à primeira parte com k=5:
\tfrac{1}{2}\int \cos(5x)\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}\sin(5x) = \frac{1}{10}\sin(5x).
(Se alguém usar a substituição sugerida u=-5x, temos du=-5\,dx e \int\cos(-5x)\,dx = \frac{1}{-5}\sin(-5x). Como \sin(-5x)=-\sin(5x), isso também dá \frac{1}{5}\sin(5x); multiplicando por \tfrac{1}{2} obtém-se de novo \frac{1}{10}\sin(5x).)

Passo 6

Agora a segunda parte, com k=35:
-\tfrac{1}{2}\int \cos(35x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{35}\sin(35x) = -\frac{1}{70}\sin(35x).

Passo 7

Somando as duas parcelas e lembrando da constante de integração C, a primitiva geral é a soma dos resultados parciais.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{10}\sin(5x)-\frac{1}{70}\sin(35x)+C

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