Guarda esse resultado: será o denominador do valor médio.
Passo 4
Escolha de coordenadas: a função e o domínio ficam muito mais simples em coordenadas polares. Vou explicar isso com calma.
Em coordenadas polares usa-se a transformação
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi).
O elemento de área transforma como
dA = r\,dr\,d\theta.
Isto vem do Jacobiano da mudança de variáveis (é como a “escala” do elemento de área ao trocar x,y por r,\theta). Não precisa decorar, mas é importante saber que sempre aparece um fator r quando se integra em polares.
O domínio D em polares é simplesmente
0\le r\le \sqrt{2},\qquad 0\le \theta\le 2\pi.
Passo 5
Expressar a função em polares e montar a integral. Substituindo x=r\cos\theta e x^{2}+y^{2}=r^{2} obtemos
Note que f não está definida no ponto r=0 (a origem), mas ao formar o produto f\,dA o fator r do dA cancela o 1/r de f. Isso faz com que a integral seja bem-comportada (integrável) no disco. Escrevendo a integral dupla em polares:
Também é possível ver isso por simetria: para cada ponto (x,y) no disco existe o ponto (-x,y) e suas contribuições para a integral se cancelam (função ímpar em x sobre região simétrica), mas a mudança para polares deixa o cálculo completamente transparente e justifica a integrabilidade mesmo na origem.
Passo 7
Calcular o valor médio usando área de D e a integral encontrada: