O valor médio de uma função f de n variáveis em um conjunto limitado D \subset \mathbb{R}^{n} é
\begin{gathered} f_{\text {med }}=\frac{1}{\operatorname{area}(D)} \iint_{D} f(x, y) d A, \quad \text { se } n=2 \\\ f_{\text {med }}=\frac{1}{\operatorname{volume}(D)} \iiint_{D} f(x, y, z) d V, \quad \text { se } n=3 \end{gathered}
Determine o valor médio de cada uma das funções a seguir.
f(x, y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, \quad D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 2\right\}.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A função f(x,y)=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}.
  • O domínio D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 2\}, ou seja, o disco centrado na origem de raio \sqrt{2}.
O que é pedido:
  • Determinar o valor médio de f no conjunto D, isto é calcular
f_{\text{med}}=\frac{1}{\operatorname{area}(D)}\iint_{D} f(x,y)\,dA.

Passo 2

Relembrando a fórmula do valor médio em duas variáveis: para uma região D com área finita,
f_{\text{med}}=\frac{1}{\operatorname{area}(D)}\iint_{D} f(x,y)\,dA.
Aqui portanto preciso calcular duas coisas: a área de D e a integral dupla \iint_{D} \dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dA.

Passo 3

Calcular a área de D. Como D é um disco de raio R=\sqrt{2}, sua área é
\operatorname{area}(D)=\pi R^{2}=\pi(\sqrt{2})^{2}=2\pi.
Guarda esse resultado: será o denominador do valor médio.

Passo 4

Escolha de coordenadas: a função e o domínio ficam muito mais simples em coordenadas polares. Vou explicar isso com calma.
  • Em coordenadas polares usa-se a transformação
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi).
  • O elemento de área transforma como
dA = r\,dr\,d\theta.
Isto vem do Jacobiano da mudança de variáveis (é como a “escala” do elemento de área ao trocar x,y por r,\theta). Não precisa decorar, mas é importante saber que sempre aparece um fator r quando se integra em polares.
O domínio D em polares é simplesmente
0\le r\le \sqrt{2},\qquad 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 5

Expressar a função em polares e montar a integral. Substituindo x=r\cos\theta e x^{2}+y^{2}=r^{2} obtemos
f(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r\cos\theta}{r^{2}}=\frac{\cos\theta}{r}.
Note que f não está definida no ponto r=0 (a origem), mas ao formar o produto f\,dA o fator r do dA cancela o 1/r de f. Isso faz com que a integral seja bem-comportada (integrável) no disco. Escrevendo a integral dupla em polares:
\iint_{D}\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}}\frac{\cos\theta}{r}\cdot r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}}\cos\theta\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral iterada. A integração em r é imediata porque o integrando não depende de r:
\int_{0}^{\sqrt{2}}\cos\theta\,dr = \cos\theta\int_{0}^{\sqrt{2}}dr = \cos\theta\cdot \sqrt{2}.
Agora integrar em \theta:
\iint_{D}\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dA = \sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta.
Mas
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = \sin\theta\Big|_{0}^{2\pi} = \sin(2\pi)-\sin(0)=0-0=0.
Portanto
\iint_{D}\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dA = \sqrt{2}\cdot 0 = 0.
Também é possível ver isso por simetria: para cada ponto (x,y) no disco existe o ponto (-x,y) e suas contribuições para a integral se cancelam (função ímpar em x sobre região simétrica), mas a mudança para polares deixa o cálculo completamente transparente e justifica a integrabilidade mesmo na origem.

Passo 7

Calcular o valor médio usando área de D e a integral encontrada:
f_{\text{med}}=\frac{1}{\operatorname{area}(D)}\iint_{D} f\,dA = \frac{1}{2\pi}\cdot 0 = 0.

Resposta

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