Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral dupla.
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração
e calcular a integral dupla
onde a região
é dada por
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A condição
descreve um anel (região entre duas circunferências centradas na origem) com raio interno e raio externo . - A condição
impõe que é não negativa e não ultrapassa . - A integranda é
.
Passo 2
Escolhendo coordenadas polares (explicação didática):
- Nas coordenadas polares, cada ponto é escrito como
, onde é a distância até a origem e é o ângulo medido a partir do eixo positivo. - A área elementar
transforma-se em . Isso vem do fato de que um pequeno retângulo em polares tem lados aproximadamente e , então a área é . - Vamos usar polares porque a condição
fica simplesmente e as condições angulares ficam fáceis de identificar.
Passo 3
Determinar os limites em polares (esboço/razão):
- A condição
vira , ou seja (tomamos ). - A condição
em polares é . Como na nossa região interior, divide-se por e obtém-se . - Primeiro
implica . - Em seguida
é equivalente a , mas é preciso observar o sinal de . Se (ou seja ), a desigualdade não pode ser satisfeita porque e . Logo a solução fica apenas onde , isto é . - Intersecando com
obtemos . - Dentro desse intervalo,
equivale a .
- Primeiro
- Portanto os valores de ângulo que satisfazem ambas as desigualdades são
Resumo dos limites polares:
e
.
Passo 4
Tratamento da integranda em polares (aula curta sobre
):
- A integranda é
. Em coordenadas polares temos quando . - A função
(arctangente) retorna um ângulo no intervalo . Como na nossa região temos e aí, vale
- Conclusão: na região
a integranda simplifica para .
Passo 5
Montar a integral em polares:
- Substituindo integranda e Jacobiano, a integral dupla vira
- Observação:
é tratado como constante na integral em .
Passo 6
Calcular a integral interna em
:
- Calculemos
- Avaliando:
- Logo a integral interna vale
.
Passo 7
Calcular a integral em
e simplificar:
- Agora
- A primitiva de
é , então