Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral dupla.
\iint_{R} \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) d A, onde R=\left\{(x, y) ; 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4, \quad 0 \leq y \leq x\right\}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração R e calcular a integral dupla
\iint_{R} \operatorname{arctg}\!\left(\frac{y}{x}\right)\,dA,
onde a região R é dada por
R=\{(x,y);\; 1 \le x^{2}+y^{2} \le 4,\quad 0 \le y \le x\}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A condição 1 \le x^{2}+y^{2} \le 4 descreve um anel (região entre duas circunferências centradas na origem) com raio interno 1 e raio externo 2.
  • A condição 0 \le y \le x impõe que y é não negativa e não ultrapassa x.
  • A integranda é \operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{y}{x}\right).

Passo 2

Escolhendo coordenadas polares (explicação didática):
  • Nas coordenadas polares, cada ponto é escrito como (x,y)=(r\cos\theta,\,r\sin\theta), onde r\ge0 é a distância até a origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
  • A área elementar dA transforma-se em dA = r\,dr\,d\theta. Isso vem do fato de que um pequeno retângulo em polares tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é dr\cdot r\,d\theta.
  • Vamos usar polares porque a condição x^{2}+y^{2} fica simplesmente r^{2} e as condições angulares ficam fáceis de identificar.

Passo 3

Determinar os limites em polares (esboço/razão):
  • A condição 1 \le x^{2}+y^{2} \le 4 vira 1 \le r^{2} \le 4, ou seja 1 \le r \le 2 (tomamos r\ge0).
  • A condição 0 \le y \le x em polares é 0 \le r\sin\theta \le r\cos\theta. Como r>0 na nossa região interior, divide-se por r e obtém-se 0 \le \sin\theta \le \cos\theta.
    • Primeiro \sin\theta \ge 0 implica \theta \in [0,\pi].
    • Em seguida \sin\theta \le \cos\theta é equivalente a \tan\theta \le 1, mas é preciso observar o sinal de \cos\theta. Se \cos\theta\le0 (ou seja \theta\in[\pi/2,\pi]), a desigualdade \sin\theta \le \cos\theta não pode ser satisfeita porque \sin\theta\ge0 e \cos\theta\le0. Logo a solução fica apenas onde \cos\theta>0, isto é \theta\in(-\pi/2,\pi/2).
    • Intersecando com \theta\in[0,\pi] obtemos \theta\in[0,\pi/2).
    • Dentro desse intervalo, \tan\theta\le1 equivale a \theta\le\pi/4.
  • Portanto os valores de ângulo que satisfazem ambas as desigualdades são
0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}.
Resumo dos limites polares: 1 \le r \le 2 e 0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Tratamento da integranda em polares (aula curta sobre \operatorname{arctg}):
  • A integranda é \operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{y}{x}\right). Em coordenadas polares temos \dfrac{y}{x}=\dfrac{r\sin\theta}{r\cos\theta}=\tan\theta quando x=r\cos\theta\neq0.
  • A função \operatorname{arctg} (arctangente) retorna um ângulo no intervalo \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right). Como na nossa região temos \theta\in[0,\pi/4]\subset\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) e x>0 aí, vale
\operatorname{arctg}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\theta.
  • Conclusão: na região R a integranda simplifica para \theta.

Passo 5

Montar a integral em polares:
  • Substituindo integranda e Jacobiano, a integral dupla vira
\iint_{R} \operatorname{arctg}\!\left(\frac{y}{x}\right)\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/4}\int_{r=1}^{2} \theta\,(r)\,dr\,d\theta.
  • Observação: \theta é tratado como constante na integral em r.

Passo 6

Calcular a integral interna em r:
  • Calculemos
\int_{r=1}^{2} \theta\,r\,dr = \theta\int_{1}^{2} r\,dr = \theta\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{1}^{2}.
  • Avaliando:
\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{1}^{2}=\frac{2^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2}=\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
  • Logo a integral interna vale \theta\cdot\dfrac{3}{2}.

Passo 7

Calcular a integral em \theta e simplificar:
  • Agora
\iint_{R}\cdots = \int_{0}^{\pi/4} \theta\cdot\frac{3}{2}\,d\theta = \frac{3}{2}\int_{0}^{\pi/4}\theta\,d\theta.
  • A primitiva de \theta é \dfrac{\theta^{2}}{2}, então
\frac{3}{2}\left[\frac{\theta^{2}}{2}\right]_{0}^{\pi/4} = \frac{3}{4}\left(\frac{\pi}{4}\right)^{2} = \frac{3}{4}\cdot\frac{\pi^{2}}{16} = \frac{3\pi^{2}}{64}.

Resposta

\dfrac{3\pi^{2}}{64}

Exercícios relacionados