(Valor: 2,0) Mostre, por definição, que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=0.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por definição, que \lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=0.
Informações fornecidas:
A função é f(x,y)=\dfrac{x y^{3}}{x^{2}+y^{2}} definida para (x,y)\neq(0,0).
O ponto de interesse é (0,0).
O objetivo é provar a afirmação usando a definição de limite em \mathbb{R}^{2}: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então \left|f(x,y)-0\right|<\varepsilon.
Passo 2
Vou recordar a definição de limite em \mathbb{R}^{2} e explicar a estratégia que vou usar.
Definição (em palavras simples): dizer que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0 significa que, dado qualquer \varepsilon>0, podemos encontrar um \delta>0 de modo que toda vez que o ponto (x,y) esteja dentro do disco de raio \delta centrado em (0,0) (mas diferente do ponto (0,0)), o valor absoluto de f(x,y) fica menor que \varepsilon.
Estratégia prática: expressar uma cota simples para \left|\dfrac{x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right| em termos da distância r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Como r mede o “tamanho” de (x,y), se conseguirmos mostrar que \left|\dfrac{x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le g(r) com g(r)\to0 quando r\to0, então podemos escolher \delta a partir de \varepsilon usando essa desigualdade.
Passo 3
Defino r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, que é a distância de (x,y) até a origem. Observação útil: sempre vale |x|\le r e |y|\le r.
Agora uso a cota para realizar o argumento \varepsilon-\delta.
Seja dado um \varepsilon>0. Escolho \delta=\sqrt{\varepsilon} (que é >0). Suponha que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta. Então, denotando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, tem-se 0<r<\sqrt{\varepsilon}, logo r^{2}<\varepsilon.
Isto mostra exatamente que, para esse \delta, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta temos \left|f(x,y)-0\right|<\varepsilon. Portanto a condição da definição de limite é satisfeita.
Passo 5
Concluímos, pelo argumento \varepsilon-\delta acima, que \lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=0.
Força aí — o passo-chave foi reconhecer que tanto |x| quanto |y| são controlados pela distância r, o que permite obter uma cota simples \le r^{2} que vai para zero quando (x,y) vai para (0,0).