(Valor 1,5) Mostre que o limite existe ou não existe considerando os limites quando
((x, y) ->(0,0)) ao longo dos eixos coordenados e da parábola (y=2 x^{2}).
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\cos (x y)}{x{2}+y{2}}
((x, y) ->(0,0)) ao longo dos eixos coordenados e da parábola (y=2 x^{2}).
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\cos (x y)}{x{2}+y{2}}
Passo 1
O enunciado pede que eu analise o limite
e, em particular, que eu calcule esse limite quando a aproximação se dá ao longo dos eixos coordenados e ao longo da parábola
. Informações dadas:
- A função é
. - Os caminhos a considerar explicitamente são:
- eixo
: , - eixo
: , - parábola:
.
- eixo
Passo 2
Breve comentário sobre o que vamos fazer (sem dar nomes técnicos demais): vou calcular os limites ao longo de cada caminho indicado. Se algum desses limites for diferente de outro (ou for infinito enquanto outro é finito), o limite total em
não existe como número finito. Também vou verificar se, mesmo não sendo um número finito, a função tende a
quando
(isto é uma forma estendida de dizer que “diverge para +infinito”).
Passo 3
Limite ao longo do eixo
(ou seja,
). Substituo
na função:
Quando
temos
, logo
Portanto o limite ao longo do eixo
é
.
Passo 4
Limite ao longo do eixo
(ou seja,
). De forma completamente análoga:
Então o limite ao longo do eixo
também é
.
Passo 5
Limite ao longo da parábola
. Substituo
:
Agora observo que quando
temos
, logo
. O denominador
quando
. Assim intuitivamente o quociente tende para
. Para ser um pouco mais rigoroso: como
, existe
tal que para
vale
(porque a função
é contínua e
). Para tais
,
onde usei
para
pequeno (porque
quando
é suficientemente pequeno). Como
quando
, concluo que
Passo 6
Interpretação parcial: em cada um dos três caminhos pedidos (eixo
, eixo
, parábola
) a função diverge para
. Isso já mostra que o limite não existe como número finito. Mas pode ainda acontecer que, em sentido estendido, a função tenda para
por qualquer caminho; vou provar que de fato
ou seja, a divergência é sempre para
.
Prova da divergência para
: primeiro uma desigualdade útil: para quaisquer reais
vale
porque
implica
, logo
.
Escolho um número fixo, por exemplo
. Se
estiver em uma vizinhança de
tal que
com
suficientemente pequeno, então
Posso escolher
com
, então para todos esses
pequenos vale
. Como
é contínua e
, no intervalo
temos
. Portanto, para todos
com
obtenho
Assim, para tais pontos
Agora, quando
tem
, logo
. Combinando, para qualquer
posso escolher
suficientemente pequeno (satisfeita a condição de cima e também
) de modo que sempre que
se tenha
Isto é exatamente a definição de
. Portanto a função diverge para
quando
.
Passo 7
Conclusão final: o limite não existe como número real finito; em sentido estendido,