(Valor 1,5) Mostre que o limite existe ou não existe considerando os limites quando
((x, y) ->(0,0)) ao longo dos eixos coordenados e da parábola (y=2 x^{2}).
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\cos (x y)}{x{2}+y{2}}

Passo 1

O enunciado pede que eu analise o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\cos(xy)}{x^{2}+y^{2}}
e, em particular, que eu calcule esse limite quando a aproximação se dá ao longo dos eixos coordenados e ao longo da parábola y=2x^{2}. Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{\cos(xy)}{x^{2}+y^{2}}.
  • Os caminhos a considerar explicitamente são:
    • eixo x: y=0,
    • eixo y: x=0,
    • parábola: y=2x^{2}.

Passo 2

Breve comentário sobre o que vamos fazer (sem dar nomes técnicos demais): vou calcular os limites ao longo de cada caminho indicado. Se algum desses limites for diferente de outro (ou for infinito enquanto outro é finito), o limite total em (0,0) não existe como número finito. Também vou verificar se, mesmo não sendo um número finito, a função tende a +\infty quando (x,y)\to(0,0) (isto é uma forma estendida de dizer que “diverge para +infinito”).

Passo 3

Limite ao longo do eixo x (ou seja, y=0). Substituo y=0 na função:
f(x,0)=\frac{\cos(x\cdot 0)}{x^{2}+0^{2}}=\frac{\cos(0)}{x^{2}}=\frac{1}{x^{2}}.
Quando x\to 0 temos x^{2}\to 0^{+}, logo
\frac{1}{x^{2}}\to +\infty.
Portanto o limite ao longo do eixo x é +\infty.

Passo 4

Limite ao longo do eixo y (ou seja, x=0). De forma completamente análoga:
f(0,y)=\frac{\cos(0\cdot y)}{0^{2}+y^{2}}=\frac{1}{y^{2}}\to +\infty\quad\text{quando }y\to 0.
Então o limite ao longo do eixo y também é +\infty.

Passo 5

Limite ao longo da parábola y=2x^{2}. Substituo y=2x^{2}:
f\bigl(x,2x^{2}\bigr)=\frac{\cos(x\cdot 2x^{2})}{x^{2}+(2x^{2})^{2}}=\frac{\cos(2x^{3})}{x^{2}+4x^{4}}.
Agora observo que quando x\to 0 temos 2x^{3}\to 0, logo \cos(2x^{3})\to 1. O denominador x^{2}+4x^{4}=x^{2}(1+4x^{2})\to 0^{+} quando x\to 0. Assim intuitivamente o quociente tende para +\infty. Para ser um pouco mais rigoroso: como \cos(2x^{3})\to 1, existe \delta_{1}>0 tal que para |x|<\delta_{1} vale \cos(2x^{3})\ge \tfrac{1}{2} (porque a função \cos é contínua e \cos(0)=1). Para tais x,
f\bigl(x,2x^{2}\bigr)\ge \frac{1/2}{x^{2}+4x^{4}} \ge \frac{1/2}{2x^{2}}=\frac{1}{4x^{2}},
onde usei x^{2}+4x^{4}\le 2x^{2} para x pequeno (porque 4x^{4}\le x^{2} quando |x| é suficientemente pequeno). Como \dfrac{1}{4x^{2}}\to +\infty quando x\to 0, concluo que
\lim_{x\to 0} f\bigl(x,2x^{2}\bigr)=+\infty.

Passo 6

Interpretação parcial: em cada um dos três caminhos pedidos (eixo x, eixo y, parábola y=2x^{2}) a função diverge para +\infty. Isso já mostra que o limite não existe como número finito. Mas pode ainda acontecer que, em sentido estendido, a função tenda para +\infty por qualquer caminho; vou provar que de fato
\frac{\cos(xy)}{x^{2}+y^{2}}\to +\infty\quad\text{quando }(x,y)\to(0,0),
ou seja, a divergência é sempre para +\infty.
Prova da divergência para +\infty: primeiro uma desigualdade útil: para quaisquer reais x,y vale
|xy|\le \frac{x^{2}+y^{2}}{2},
porque 0\le (|x|-|y|)^{2}=x^{2}+y^{2}-2|x||y| implica 2|x||y|\le x^{2}+y^{2}, logo |xy|\le (x^{2}+y^{2})/2.
Escolho um número fixo, por exemplo \alpha=\pi/3. Se (x,y) estiver em uma vizinhança de (0,0) tal que x^{2}+y^{2}<\delta^{2} com \delta suficientemente pequeno, então
|xy|\le \frac{x^{2}+y^{2}}{2}<\frac{\delta^{2}}{2}.
Posso escolher \delta com \delta^{2}/2\le \pi/3, então para todos esses (x,y) pequenos vale |xy|\le \pi/3. Como \cos(t) é contínua e \cos(0)=1, no intervalo |t|\le \pi/3 temos \cos(t)\ge 1/2. Portanto, para todos (x,y) com 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta obtenho
\cos(xy)\ge \tfrac{1}{2}.
Assim, para tais pontos
\frac{\cos(xy)}{x^{2}+y^{2}}\ge \frac{1/2}{x^{2}+y^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+y^{2}}.
Agora, quando (x,y)\to(0,0) tem x^{2}+y^{2}\to 0^{+}, logo \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\to +\infty. Combinando, para qualquer M>0 posso escolher \delta suficientemente pequeno (satisfeita a condição de cima e também \tfrac{1}{2\delta^{2}}>M) de modo que sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta se tenha
\frac{\cos(xy)}{x^{2}+y^{2}}>M.
Isto é exatamente a definição de \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=+\infty. Portanto a função diverge para +\infty quando (x,y)\to(0,0).

Passo 7

Conclusão final: o limite não existe como número real finito; em sentido estendido,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\cos(xy)}{x^{2}+y^{2}}=+\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\cos(xy)}{x^{2}+y^{2}}=+\infty

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