O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de \mathrm{R} \ 200.000,00 , então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos, é igual a: a) \(R \\) 230.000,00
b) R \ 250.000,00$
c) \mathrm{R} \ 330.000,00$
d) \mathrm{R} \ 320.000,00$
e) R \ 310.000,00$

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • O enunciado diz que o valor nominal da dívida, que vou chamar de N, é igual a 5 vezes o desconto racional composto (ou seja, N = 5\cdot d_r).
  • A antecipação é de 10 meses (ou seja, o número de períodos é n=10).
  • O valor atual da dívida (valor de resgate) é \mathrm{R}\$\,200.000,00. Vou chamar esse valor de A; portanto A=\mathrm{R}\$\,200.000,00.
  • A pergunta: calcular o valor nominal N da dívida (sem considerar centavos), e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Definições essenciais (explicadas devagarzinho, como se estivéssemos estudando juntos).
  • O valor nominal N é o valor “de face” da dívida que será pago no vencimento.
  • O valor atual A (ou valor de resgate) é o quanto essa dívida vale hoje, quando se aplica desconto.
  • Para desconto racional composto, a relação entre A e N é a mesma usada na capitalização composta, só invertida: se acumulando A para N por n períodos à taxa periódica i vale N=A(1+i)^n, então no desconto
A=\dfrac{N}{(1+i)^n}.
Aqui \,i é a taxa por período (no nosso caso taxa mensal) e n é o número de períodos (aqui n=10). Essa fórmula diz: para obter o valor presente A a partir do nominal N, divide-se por (1+i)^n.

Passo 3

Definição do desconto racional composto (o que é o desconto que aparece no enunciado).
  • O desconto racional composto d_r é a diferença entre o valor nominal e o valor atual:
d_r = N - A.
Isso é intuitivo: o desconto é exatamente quanto se “retira” do nominal para obter o valor hoje.

Passo 4

Usar a condição do enunciado e montar a equação.
  • O enunciado diz que N é igual a 5 vezes o desconto racional composto. Em símbolos:
N = 5\cdot d_r.
  • Substituindo d_r = N - A obtemos:
N = 5\bigl(N - A\bigr).

Passo 5

Resolver a equação passo a passo (sem pular etapas).
  • Expandindo o lado direito:
N = 5N - 5A.
  • Colocando os termos com N de um lado:
N - 5N = -5A \quad\Rightarrow\quad -4N = -5A.
  • Multiplicando por -1 ou simplificando:
4N = 5A.
  • Isolando N:
N = \dfrac{5}{4}\,A.
Observação didática: repare que a taxa \,i e o número de períodos n desapareceram da equação final — isso acontece porque a condição “o nominal é 5 vezes o desconto” impôs uma relação percentual fixa entre N e A que não depende da taxa. Portanto o n=10 meses do enunciado não é necessário para o cálculo numérico final.

Passo 6

Substituir o valor dado de A e calcular numericamente (fazendo as contas de forma que dá para fazer sem calculadora).
  • Temos A=\mathrm{R}\$\,200.000,00. Então
N=\dfrac{5}{4}\times 200000.
  • Calcule passo a passo: 200000\div 4 = 50000. Multiplicando por 5 50000\times 5 = 250000.
  • Logo N=\mathrm{R}\$\,250.000,00.
Dica amiga: quando aparecer frações como \tfrac{5}{4} multiplique primeiro por 5 e divida por 4, ou divida por 4 e multiplique por 5. Aqui dividir 200000 por 4 deu um número inteiro fácil.

Resposta

\mathrm{R}\$\,250.000,00

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