O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de
200.000,00
b)
250.000,00$
c)
330.000,00$
d)
320.000,00$
e)
310.000,00$
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- O enunciado diz que o valor nominal da dívida, que vou chamar de
, é igual a vezes o desconto racional composto (ou seja, ). - A antecipação é de
meses (ou seja, o número de períodos é ). - O valor atual da dívida (valor de resgate) é
. Vou chamar esse valor de ; portanto . - A pergunta: calcular o valor nominal
da dívida (sem considerar centavos), e escolher a alternativa correta.
Passo 2
Definições essenciais (explicadas devagarzinho, como se estivéssemos estudando juntos).
- O valor nominal
é o valor “de face” da dívida que será pago no vencimento. - O valor atual
(ou valor de resgate) é o quanto essa dívida vale hoje, quando se aplica desconto. - Para desconto racional composto, a relação entre
e é a mesma usada na capitalização composta, só invertida: se acumulando para por períodos à taxa periódica vale , então no desconto
Aqui
é a taxa por período (no nosso caso taxa mensal) e
é o número de períodos (aqui
). Essa fórmula diz: para obter o valor presente
a partir do nominal
, divide-se por
.
Passo 3
Definição do desconto racional composto (o que é o desconto que aparece no enunciado).
- O desconto racional composto
é a diferença entre o valor nominal e o valor atual:
Isso é intuitivo: o desconto é exatamente quanto se “retira” do nominal para obter o valor hoje.
Passo 4
Usar a condição do enunciado e montar a equação.
- O enunciado diz que
é igual a vezes o desconto racional composto. Em símbolos:
- Substituindo
obtemos:
Passo 5
Resolver a equação passo a passo (sem pular etapas).
- Expandindo o lado direito:
- Colocando os termos com
de um lado:
- Multiplicando por
ou simplificando:
- Isolando
:
Observação didática: repare que a taxa
e o número de períodos
desapareceram da equação final — isso acontece porque a condição “o nominal é 5 vezes o desconto” impôs uma relação percentual fixa entre
e
que não depende da taxa. Portanto o
meses do enunciado não é necessário para o cálculo numérico final.
Passo 6
Substituir o valor dado de
e calcular numericamente (fazendo as contas de forma que dá para fazer sem calculadora).
- Temos
. Então
- Calcule passo a passo:
. Multiplicando por dá . - Logo
.
Dica amiga: quando aparecer frações como
multiplique primeiro por
e divida por
, ou divida por
e multiplique por
. Aqui dividir
por
deu um número inteiro fácil.