João foi a um banco e descontou uma nota promissória de \mathrm{R} \ 200.000,00,6 meses antes do vencimento. Admitindo se que tenha recebido o líquido deí\mathrm{R} $149.243,04$ e o regime adotado de desconto racional composto, a taxa de juros é de:
a) 75,36 \%
b) 79,59 \%
c) 89,83 \%
d) 90,21 \%
e) 91,76 \%

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Valor nominal (vencimento) da nota: 200{.}000,00 reais.
  • Tempo até o vencimento: 6 meses.
  • Recebimento líquido (valor presente obtido ao descontar): 149{.}243,04 reais.
  • Regime adotado: desconto racional composto.
    Pergunta: determinar a taxa de juros (a ser apresentada conforme as opções).

Passo 2

Explicando o conceito (aula rápida e amigável):
  • No desconto racional composto, o banco calcula o valor presente PV da importância futura FV usando a fórmula do valor presente no regime composto.
  • A fórmula é
PV=\frac{FV}{(1+i)^{n}},
onde:
  • PV é o valor presente (o que João recebeu, líquido),
  • FV é o valor futuro ou nominal da nota (o que será pago no vencimento),
  • i é a taxa de juros por período (aqui o período será 1 mês, porque o tempo está em meses),
  • n é o número de períodos (aqui n=6 meses).
  • Essa fórmula vem da relação do montante composto FV=PV(1+i)^n; invertendo, obtém-se PV=FV/(1+i)^n.
  • Nosso objetivo: usar PV, FV e n para encontrar i, e então apresentar a taxa no formato pedido pelas alternativas (eles oferecem percentuais próximos de uma taxa anual efetiva).

Passo 3

Aplicando a fórmula com os dados:
149{.}243,04=\frac{200{.}000}{(1+i)^{6}}.
Isolando (1+i)^{6}:
(1+i)^{6}=\frac{200{.}000}{149{.}243,04}.
Calcular a razão:
\frac{200{.}000}{149{.}243,04}\approx 1,340096.
Logo
1+i=\bigl(1,340096\bigr)^{1/6}.

Passo 4

Encontrando i de forma prática (reconhecimento numérico):
  • Testando i=0,05 (ou seja 5\% ao mês):
1,05^{2}=1,1025, \qquad 1,05^{3}=1,157625,
1,05^{6}=(1,05^{3})^{2}=1,157625^{2}\approx 1,340095\ldots
Isso coincide com \,1,340096 obtido acima, portanto
i\approx 0,05\quad\text{(ou seja, }5\%\text{ ao mês).}ê

Passo 5

Transformando a taxa mensal em taxa anual efetiva (porque as alternativas são percentuais anuais grandes):
  • A relação entre taxa mensal i_{\text{m}} e taxa anual efetiva i_{\text{a}} é
1+i_{\text{a}}=(1+i_{\text{m}})^{12}.
Substituindo i_{\text{m}}=0,05:
1+i_{\text{a}}=(1,05)^{12}=\bigl((1,05)^{6}\bigr)^{2}\approx 1,340095^{2}\approx 1,795859.
Portanto
i_{\text{a}}\approx 1,795859-1=0,795859\approx 79,5859\%.
Arredondando para duas casas decimais: 79,59\%.

Resposta

b) 79,59\%

Exercícios relacionados