(Valor: 1,0 ponto) Determine o limite:
\lim _{(x, y) \rightarrow(3,3)} \frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando (x,y) tende a (3,3) da função
\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}-y^{2}}.
Informações dadas e observações iniciais importantes:
  • A expressão é a razão entre \;x^{4}-y^{4}\; e \;x^{2}-y^{2}\;.
  • No ponto (3,3) o denominador vale
x^{2}-y^{2}\Big|_{(3,3)}=3^{2}-3^{2}=9-9=0,
ou seja, a função original não está definida em (3,3) porque o denominador é 0 ali.
  • O que se pede é o limite, isto é, o valor que a expressão se aproxima quando (x,y) se aproxima de (3,3), mesmo que a função não esteja definida exatamente lá.

Passo 2

Vamos tentar simplificar a expressão algébrica antes de calcular o limite. Primeiro, reconheça uma fatoração clássica: a diferença de quadrados.
Se tomarmos \;x^{4}-y^{4}\;, podemos vê‑la como (x^{2})^{2}-(y^{2})^{2}, então aplicamos a fórmula da diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui a=x^{2} e b=y^{2}. Portanto
x^{4}-y^{4}=(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2}).

Passo 3

Substituindo essa fatoração na fração original temos, para todos os pontos em que o denominador não é zero,
\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}-y^{2}}=\frac{(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})}{x^{2}-y^{2}}.
Podemos cancelar o fator comum \;x^{2}-y^{2}\; desde que ele não seja zero (ou seja, para (x,y) tais que x^{2}\neq y^{2}). Após o cancelamento obtemos a função simplificada
x^{2}+y^{2},
válida em toda vizinhança de (3,3) exceto sobre a curva x^{2}=y^{2}.

Passo 4

Explico por que esse cancelamento é permitido ao calcular o limite: o limite quando (x,y)\to(3,3) depende dos valores da função em pontos próximos a (3,3), não do valor no próprio ponto. Se duas funções coincidem em todos os pontos de uma vizinhança puncturada (isto é, numa vizinhança excluindo possivelmente o próprio ponto), então têm o mesmo limite no ponto. Aqui a função original coincide com a função x^{2}+y^{2} em todos os pontos próximos a (3,3) que não satisfaçam x^{2}=y^{2}. Portanto podemos calcular o limite usando a função simplificada x^{2}+y^{2}.

Passo 5

Agora uso uma propriedade simples: polinômios (como x^{2}+y^{2}) são contínuos em todo lugar. Para uma função contínua g vale
\lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y)=g(a,b).
Aqui g(x,y)=x^{2}+y^{2} é contínua, logo
\lim_{(x,y)\to(3,3)}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=3^{2}+3^{2}=9+9=18.

Passo 6

Para nos tranquilizar, podemos pensar em caminhos diferentes: aproximando por x=3+t,\;y=3 ou por x=3,\;y=3+t ou por x=3+t,\;y=3+2t (com t\to 0), em todos esses casos a expressão simplificada tende a 18. Mesmo que ao aproximar exatamente sobre a reta x=y a expressão original esteja indefinida, o limite considera aproximações por pontos onde a expressão está definida; como a função simplificada é contínua e fornece o mesmo valor em todas essas aproximações, o limite existe e é 18.

Resposta

18

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