(Valor: 1,0 ponto) Seja
a) Calcule
.
b) Determine e esboce o domínio de
.
b) Determine e esboce o domínio de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Calcular
. - Determinar e esboçar o domínio de
.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vamos calcular
fazendo a substituição
e
na expressão dada. Primeiro identifique as partes:
Substituindo
e
,
Portanto
Antes de aceitar esse valor devemos checar que a expressão é válida em
: o argumento do log
, logo o log está definido; e o denominador
. Tudo certo.
Passo 3
Agora vamos determinar o domínio de
. Primeiro, quais são as restrições impostas pela expressão?
- O log natural
exige que o seu argumento seja positivo. Então devemos ter
Expliquei: isso vem da definição do log real — só é definido para argumentos estritamente positivos.
2. O denominador não pode ser zero, então devemos ter
2. O denominador não pode ser zero, então devemos ter
Expliquei: divisão por zero não é permitida.
Passo 4
Combine as duas condições para obter o domínio. As duas condições devem valer simultaneamente, portanto o domínio
é o conjunto de pontos
que satisfazem ambas:
Em palavras: é a região estritamente acima da parábola
, com todos os pontos da reta
removidos.
Passo 5
Para esboçar mentalmente (ou no papel) o domínio, é útil entender a geometria das curvas envolvidas:
- A parábola
tem vértice em e abre para cima. A condição significa “a região acima dessa parábola” (sombreada). - A reta
tem coeficiente angular e intercepto -em-1 quando . Em forma explícita: .
Passo 6
Interseção entre a reta e a parábola: para visualizar onde a reta corta a região
precisamos achar os pontos de interseção da reta com a parábola, solução do sistema
Igualando as duas expressões para
,
Resolva a quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Assim as abscissas de interseção são
Os correspondentes valores de
na reta são
, então os pontos de interseção (exatos) são
Num esboço: a reta cruza a parábola nesses dois pontos. Entre essas duas abscissas a reta fica acima da parábola (isto é, para
entre as raízes temos
), e fora desse intervalo a reta fica abaixo da parábola.
Passo 7
Consequência geométrica para o domínio: a condição
é a região acima da parábola. A restrição
exclui todos os pontos sobre a reta, mas somente o segmento da reta entre os dois pontos de interseção ia cortar efetivamente a região
. Portanto, para desenhar:
- Trace a parábola
e sombree a região acima dela (não include a própria curva porque é estrito ). - Trace a reta
(normalmente com traço pontilhado para mostrar que está excluída). - Remova da região sombreada os pontos onde a reta corta (na prática, exclui-se o segmento da reta que está entre as interseções; os demais pontos da reta já não pertenciam à região acima da parábola).
Passo 8
Recapitulação final em forma matemática clara (pronta para a prova): o domínio é
Isso responde à questão pedida.
Resposta
a)
b)