(Valor: 1,0 ponto) Seja
F(x, y)=\frac{\ln \left(y-x^{2}\right)}{x+y-1}
a) Calcule F(1,3).
b) Determine e esboce o domínio de F.

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x,y)=\frac{\ln\bigl(y-x^{2}\bigr)}{x+y-1}
e pede duas coisas:
  1. Calcular F(1,3).
  2. Determinar e esboçar o domínio de F.
Informações relevantes fornecidas:
\text{a)}\quad\text{Calcular }F(1,3).
\text{b)}\quad\text{Domínio: identificar todos os pares }(x,y)\text{ em }\mathbb{R}^{2}\text{ onde }F(x,y)\text{ está bem definida.}íá

Passo 2

Vamos calcular F(1,3) fazendo a substituição x=1 e y=3 na expressão dada. Primeiro identifique as partes:
\text{numerador}=\ln\bigl(y-x^{2}\bigr),\qquad \text{denominador}=x+y-1.
Substituindo x=1 e y=3,
\text{numerador}=\ln\bigl(3-1^{2}\bigr)=\ln(3-1)=\ln(2),
\text{denominador}=1+3-1=3.
Portanto
F(1,3)=\frac{\ln(2)}{3}.
Antes de aceitar esse valor devemos checar que a expressão é válida em (1,3): o argumento do log \,y-x^{2}=\;3-1=2>0, logo o log está definido; e o denominador x+y-1=3\neq0. Tudo certo.

Passo 3

Agora vamos determinar o domínio de F. Primeiro, quais são as restrições impostas pela expressão?
  1. O log natural \ln(\cdot) exige que o seu argumento seja positivo. Então devemos ter
y-x^{2}>0\quad\Longleftrightarrow\quad y>x^{2}.
Expliquei: isso vem da definição do log real — só é definido para argumentos estritamente positivos.
2. O denominador não pode ser zero, então devemos ter
x+y-1\neq0\quad\Longleftrightarrow\quad x+y\neq1.
Expliquei: divisão por zero não é permitida.

Passo 4

Combine as duas condições para obter o domínio. As duas condições devem valer simultaneamente, portanto o domínio D é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem ambas:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y>x^{2}\\ \text{ e }\\ x+y\neq1\}.
Em palavras: é a região estritamente acima da parábola y=x^{2}, com todos os pontos da reta x+y=1 removidos.

Passo 5

Para esboçar mentalmente (ou no papel) o domínio, é útil entender a geometria das curvas envolvidas:
  • A parábola y=x^{2} tem vértice em (0,0) e abre para cima. A condição y>x^{2} significa “a região acima dessa parábola” (sombreada).
  • A reta x+y=1 tem coeficiente angular -1 e intercepto y-em-1 quando x=0. Em forma explícita: y=1-x.

Passo 6

Interseção entre a reta e a parábola: para visualizar onde a reta corta a região y>x^{2} precisamos achar os pontos de interseção da reta com a parábola, solução do sistema
y=x^{2},\qquad y=1-x.
Igualando as duas expressões para y,
x^{2}=1-x \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+x-1=0.
Resolva a quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4\cdot1\cdot(-1)}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.
Assim as abscissas de interseção são
x_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\approx -1,618\qquad\text{e}\qquad x_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx 0,618.
Os correspondentes valores de y na reta são y=1-x, então os pontos de interseção (exatos) são
\left(\frac{-1-\sqrt{5}}{2},\,1-\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right)\quad\text{e}\quad\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\,1-\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right).
Num esboço: a reta cruza a parábola nesses dois pontos. Entre essas duas abscissas a reta fica acima da parábola (isto é, para x entre as raízes temos 1-x>x^{2}), e fora desse intervalo a reta fica abaixo da parábola.

Passo 7

Consequência geométrica para o domínio: a condição y>x^{2} é a região acima da parábola. A restrição x+y\neq1 exclui todos os pontos sobre a reta, mas somente o segmento da reta entre os dois pontos de interseção ia cortar efetivamente a região y>x^{2}. Portanto, para desenhar:
  • Trace a parábola y=x^{2} e sombree a região acima dela (não include a própria curva porque é estrito >).
  • Trace a reta x+y=1 (normalmente com traço pontilhado para mostrar que está excluída).
  • Remova da região sombreada os pontos onde a reta corta (na prática, exclui-se o segmento da reta que está entre as interseções; os demais pontos da reta já não pertenciam à região acima da parábola).

Passo 8

Recapitulação final em forma matemática clara (pronta para a prova): o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y>x^{2}\\ \text{ e }\\ x+y\neq1\}.
Isso responde à questão pedida.

Resposta

a) \displaystyle \frac{\ln(2)}{3}
b) \displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y>x^{2}\\ \text{ e }\\ x+y\neq1\}

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