(valor: 1,0 ponto) Uma empresa deseja calcular a massa de um tanque com base retangular e altura constante. O tanque ocupa a região definida por:
0 \leq x \leq 2, \quad 0 \leq y \leq 2, \quad 0 \leq z \leq 0,5
A densidade no ponto ( x, y, z ) varia de acordo com a fórmula
p(x, y, z)=1000+500 y\left(\mathrm{em} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right)
Qual é a massa total do tanque, em quilogramas?
A) 3.000
B) 3.500
C) 4.000
D) 5.000
E) 6.000

Passo 1

O enunciado define um tanque com base retangular e altura constante na região
0 \le x \le 2,\quad 0 \le y \le 2,\quad 0 \le z \le 0,5
e densidade variável
p(x,y,z)=1000+500\,y\quad(\text{kg/m}^3).
Queremos calcular a massa total usando integração tripla:
m=\int_{0}^{2}\int_{0}^{2}\int_{0}^{0,5}p(x,y,z)\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.

Passo 2

Como p(x,y,z) não depende de x nem de z, podemos separar as integrais:
m =\int_{0}^{2}\!\!\!\int_{0}^{2}\!\!\!\int_{0}^{0,5}(1000+500y)\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x =\Bigl(\int_{0}^{2}\mathrm{d}x\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{2}(1000+500y)\,\mathrm{d}y\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{0,5}\mathrm{d}z\Bigr).

Passo 3

Calculamos cada fator:
\int_{0}^{2}\mathrm{d}x = 2, \quad \int_{0}^{0,5}\mathrm{d}z = 0,5.
Logo os fatores nos dão 2\times0{,}5=1, e
m = 1\cdot \int_{0}^{2}(1000+500y)\,\mathrm{d}y.

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{0}^{2}(1000+500y)\,\mathrm{d}y =\bigl[1000\,y +250\,y^{2}\bigr]_{0}^{2} =1000\cdot2 +250\cdot4 =2000+1000=3000.

Resposta

A) 3000 kg

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