(valor: 1,0 ponto) Seja um sólido hemisférico de raio 3 localizado acima do plano z=0, definido por:
x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 9, \text { com } z \geq 0
Sabendo que a densidade no ponto ( x, y, z ) é dada por
\rho(x, y, z)=x^{2}+y^{2},
qual é a massa total do hemisfério?
A) 81 \pi / 2
B) 54 \pi
C) 162 \pi
D) 243 \pi / 2
E) 324 \pi / 5

Passo 1

O enunciado pede a massa do hemisfério definido por
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le9,\quad z\ge0
com densidade \rho(x,y,z)=x^{2}+y^{2}. O conteúdo é cálculo de massa por integral tripla, usando coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x^{2}+y^{2}=r^{2},\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz
e os limites são
\theta\in[0,2\pi],\quad r\in[0,3],\quad z\in\bigl[0,\sqrt{9-r^{2}}\bigr].
Então
m=\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{3}\!\!\int_{0}^{\sqrt{9-r^{2}}}r^{2}\cdot r\,dz\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{3}\!\!\int_{0}^{\sqrt{9-r^{2}}}r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Integramos em z, que vai de 0 até \sqrt{9-r^{2}}, eliminando o z:
m =2\pi\int_{0}^{3}r^{3}\sqrt{9-r^{2}}\,dr.

Passo 4

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{3}r^{3}\sqrt{9-r^{2}}\,dr fazemos a substituição
u=9-r^{2},\quad du=-2r\,dr
e portanto
\int_{0}^{3}r^{3}\sqrt{9-r^{2}}\,dr =\frac12\int_{9}^{0}(9-u)\,u^{1/2}(-du) =\frac12\int_{0}^{9}(9-u)\,u^{1/2}\,du.
Expandindo e integrando em u:
\frac12\int_{0}^{9}\bigl(9u^{1/2}-u^{3/2}\bigr)du =\frac12\Bigl[9\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}-\frac{2}{5}u^{5/2}\Bigr]_{0}^{9} =\frac12\Bigl[6\cdot27-\frac{2}{5}\cdot243\Bigr] =\frac{162}{5}.

Passo 5

Substituindo de volta em m=2\pi\int_{0}^{3}r^{3}\sqrt{9-r^{2}}\,dr
m=2\pi\cdot\frac{162}{5}=\frac{324\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{324\pi}{5} (alternativa E)

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