(valor: 1,0 ponto) Calcule a integral tripla
\iiint_{S} x z d V
onde S é o paralelepípedo no primeiro octante limitado pelos planos x=0, x= 1, y=0, y=2, z=0 e z=3. A alternativa correta é:
A) 1 / 2
B) 1 / 4
C) 9 / 2
D) 1
E) 3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{S} x\,z\,dV
onde S é o paralelepípedo no primeiro octante limitado por x=0, x=1, y=0, y=2, z=0 e z=3.
O conteúdo é integração múltipla e vamos usar o Teorema de Fubini para escrever como uma iterada.

Passo 2

Escrevemos a integral em forma iterada, respeitando os limites de cada variável:
\iiint_{S} x\,z\,dV = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{2}\!\int_{z=0}^{3} x\,z \;dz\;dy\;dx.

Passo 3

Observamos que o integrando x\,z não depende de y, então podemos separar a integração em fatores:
\int_{y=0}^{2}dy \times \int_{x=0}^{1}x\,dx \times \int_{z=0}^{3}z\,dz.

Passo 4

Calculamos o fator em z:
\int_{0}^{3} z\,dz = \left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{3} = \frac{9}{2}.

Passo 5

Calculamos o fator em y:
\int_{0}^{2} dy = 2.

Passo 6

Calculamos o fator em x:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}.

Passo 7

Multiplicamos os três resultados:
\frac{1}{2}\times 2\times \frac{9}{2} = \frac{9}{2}.

Resposta

A alternativa correta é a letra (C), \tfrac{9}{2}.

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