(Valor: 1,0 ponto) Os números anotados na tabela referem-se às medidas do comprimento de bastões de alumínio feitas com uma régua.
\mathrm{L}(\mathrm{cm}) 10,45 10,30 10,40 10,50 10,65 10,21 10,47 10,32 10,28 10,82 10,63
Calcule (a) o valor médio do comprimento (em cm), (b) o desvio padrão (em cm) e (c) apresente a medida com a incerteza (considere o erro combinado)

Passo 1

O enunciado dá uma lista de onze medições do comprimento L (em cm) feitas com uma régua. Os valores anotados são (peguei-os da tabela do enunciado):
10,45,\;10,30,\;10,40,\;10,50,\;10,65,\;10,21,\;10,47,\;10,32,\;10,28,\;10,82,\;10,63
O que se pede:
(a) calcular o valor médio do comprimento (em cm);
(b) calcular o desvio padrão (em cm);
(c) apresentar a medida com a incerteza, considerando o erro combinado.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a média aritmética das medições. A média é a melhor estimativa do valor central quando temos várias medidas independentes; a fórmula é
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i,
onde N é o número de medidas e x_i são as medidas individuais. Aqui N=11. Somando os valores (mostrando a soma):
\sum_{i=1}^{11} x_i = 115,03
Logo a média é
\bar{x}=\frac{115,03}{11}=10,4572727\ldots
Vou guardar mais casas para os cálculos intermediários; arredondando para apresentação posterior podemos usar \bar{x}\approx 10,457\\ \text{cm}.

Passo 3

Agora calculamos o desvio padrão das medições. O desvio padrão amostral (o que se usa quando as medições são uma amostra de um valor verdadeiro desconhecido) é definido por
s=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2}.
Explicando: x_i-\bar{x} é quanto cada medida difere da média; elevando ao quadrado evitamos sinais opostos se cancelarem; somando e dividindo por N-1 (graus de liberdade) obtemos a variância amostral, e a raiz dá o desvio padrão s. Vamos calcular os quadrados das diferenças e somá-los. O somatório das diferenças ao quadrado é (cálculo numérico):
\sum_{i=1}^{11}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2 \approx 0,34001197.
Dividindo por N-1=10 obtemos a variância amostral
s^2=\frac{0,34001197}{10}=0,034001197,
e portanto o desvio padrão é
s=\sqrt{0,034001197}\approx 0,184383\\ \text{cm}.
Arredondando razoavelmente para apresentação: s\approx 0,184\\ \text{cm}.

Passo 4

Para apresentar a medida com incerteza precisamos do erro combinado. Primeiro obtemos a incerteza tipo A (estatística), que é a incerteza padrão da média — isto é, quanto a média pode variar por causa da dispersão das medidas. A incerteza tipo A é
u_A=\frac{s}{\sqrt{N}}.
Substituindo s\approx 0,184383 e N=11,
u_A=\frac{0,184383}{\sqrt{11}}\approx\frac{0,184383}{3,31662}\approx 0,05560\\ \text{cm}.
Interpretação simples: mesmo que as medidas variem com desvio típico 0,184 cm, a média está determinada com uma incerteza menor, cerca de 0,056 cm.

Passo 5

Agora precisamos incluir a incerteza do instrumento (incerteza tipo B). Como o enunciado diz que as medidas foram feitas com uma régua, é comum assumir que a menor divisão da régua é de 1\\ \text{mm}=0,1\\ \text{cm}. (Se o problema exigisse outra resolução, isso deveria ser informado; aqui adoto essa hipótese porque é o caso mais habitual para uma régua.) Para uma incerteza de leitura uniforme no intervalo \pm\frac{a}{2} (onde a é a menor divisão), a incerteza padrão tipo B é
u_B=\frac{a}{\sqrt{12}}.
Tomando a=0,1\\ \text{cm} temos
u_B=\frac{0,1}{\sqrt{12}}\approx 0,02887\\ \text{cm}.
(Obs.: se alguém usasse outra suposição para a — por exemplo a=0,01\\ \text{cm} — o termo u_B seria muito menor e o resultado final mudaria pouco; aqui explicitei a hipótese usada.)

Passo 6

A incerteza combinada (incerteza padrão combinada) junta as contribuições independentes tipo A e tipo B pela soma quadrática:
u_c=\sqrt{u_A^2+u_B^2}.
Substituindo os valores:
u_c=\sqrt{(0,05560)^2+(0,02887)^2}\approx\sqrt{0,003091+0,000834}\approx\sqrt{0,003925}\approx 0,06266\\ \text{cm}.
Regra prática de apresentação: a incerteza costuma ser apresentada com uma ou duas casas significativas (uma casa significativa costuma ser suficiente; se o primeiro dígito for 1, às vezes usam duas). Aqui u_c\approx 0,06266 tem primeiro dígito 6, então vamos adotar uma casa significativa: u_c\approx 0,06\\ \text{cm}.
Ao apresentar a medida com a incerteza devemos arredondar o valor médio ao mesmo número de casas decimais da incerteza. Como u_c=0,06 tem duas casas decimais, arredondamos a média para duas casas decimais:
\bar{x}\approx 10,46\\ \text{cm}.
Assim a medida final com incerteza combinada fica 10,46\pm 0,06\\ \text{cm}.

Resposta

(a) \bar{x}=10,457\\ \text{cm}
(b) s=0,184\\ \text{cm}
(c) L=(10,46\pm0,06)\\ \text{cm}

Exercícios relacionados