(Valor: 2,0 pontos) A resistência elétrica de um fio de cobre, em função temperatura é dada por:
R=R_{0}\left[1+\alpha\left(T-T_{0}\right)\right]
onde,
\mathrm{R}_{\mathrm{o}}=(6,00 \pm 0,1) \Omega (na temperatura To )
\alpha=\left(4,0.10^{-4} \pm 2.10^{-5}\right)^{\circ} \mathrm{C}^{-1}
\mathrm{T}=(40,0 \pm 0,8)^{\circ} \mathrm{C}
\mathrm{T}_{\mathrm{o}}=(20,0 \pm 0,4)^{\circ} \mathrm{C}
Calcule R com a seu respectivo erro

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a resistência elétrica R e seu erro, usando a relação
R=R_{0}\left[1+\alpha\left(T-T_{0}\right)\right].
Dados fornecidos (todos extraídos do enunciado):
  • R_{0}=(6,00\pm0,10)\\ \Omega.
  • \alpha=\left(4,0\cdot10^{-4}\pm2\cdot10^{-5}\right)\\ ^{\circ}\mathrm{C}^{-1}.
  • T=(40,0\pm0,8)\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
  • T_{0}=(20,0\pm0,4)\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
O que se pede: calcular o valor de R (valor central) e a incerteza associada \sigma_R, assumindo medidas independentes.

Passo 2

Calcular o valor central de R (substituição direta dos valores centrais).
Primeiro calcule a diferença de temperaturas
\Delta T = T-T_{0} = 40,0-20,0 = 20,0\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Agora substitui em R:
R = 6,00\left[1 + \left(4,0\cdot10^{-4}\right)\cdot20,0\right].
Calcule o termo dentro do colchete:
\left(4,0\cdot10^{-4}\right)\cdot20,0 = 4,0\cdot20,0\cdot10^{-4} = 80,0\cdot10^{-4} = 0,008.
Logo
R = 6,00\cdot(1 + 0,008) = 6,00\cdot1,008 = 6,048\\ \Omega.

Passo 3

Explicar e escolher o método de propagação de erros.
Usa-se a propagação de erros por aproximação linear (primeira ordem) porque a fórmula é diferenciável e as incertezas são pequenas. Para variáveis independentes R_0, \alpha e \Delta T a variância de R é
\sigma_R^2 = \left(\frac{\partial R}{\partial R_{0}}\right)^2\sigma_{R_{0}}^{2} + \left(\frac{\partial R}{\partial \alpha}\right)^2\sigma_{\alpha}^{2} + \left(\frac{\partial R}{\partial \Delta T}\right)^2\sigma_{\Delta T}^{2}.
Aqui \sigma_{R_{0}}=0,10\\ \Omega, \sigma_{\alpha}=2\cdot10^{-5}\\ ^{\circ}\mathrm{C}^{-1}. Falta \sigma_{\Delta T}, que vem da soma independente das incertezas de T e T_{0}.
Como \Delta T = T - T_0 e T e T_0 são independentes,
\sigma_{\Delta T} = \sqrt{\sigma_{T}^{2}+\sigma_{T_{0}}^{2}} = \sqrt{(0,8)^{2}+(0,4)^{2}}.

Passo 4

Calcular \sigma_{\Delta T} e as derivadas parciais.
Calcule \sigma_{\Delta T}:
\sigma_{\Delta T} = \sqrt{0,8^{2}+0,4^{2}} = \sqrt{0,64+0,16} = \sqrt{0,80} \approx 0,8944\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Derivadas parciais de R=R_{0}[1+\alpha\Delta T]:
\frac{\partial R}{\partial R_{0}} = 1+\alpha\Delta T, \qquad \frac{\partial R}{\partial \alpha} = R_{0}\Delta T, \qquad \frac{\partial R}{\partial \Delta T} = R_{0}\alpha.
Agora substitua os valores numéricos (usar os valores centrais já calculados):
1+\alpha\Delta T = 1 + (4,0\cdot10^{-4})\cdot20,0 = 1{,}008.
R_{0}\Delta T = 6,00\cdot20,0 = 120{,}0.
R_{0}\alpha = 6,00\cdot4,0\cdot10^{-4} = 6,00\cdot0,0004 = 0,0024.

Passo 5

Calcular cada termo da variância e somar.
Termo devido a \sigma_{R_{0}}:
(1{,}008)^{2}\cdot(0,10)^{2} = 1{,}016064\cdot0,01 = 0,01016064.
Termo devido a \sigma_{\alpha}:
(120{,}0)^{2}\cdot(2\cdot10^{-5})^{2} = 14400\cdot4\cdot10^{-10} = 14400\cdot4e-10 = 5{,}76\cdot10^{-6}.
Termo devido a \sigma_{\Delta T}:
(0,0024)^{2}\cdot(0,8944)^{2} = 5{,}76\cdot10^{-6}\cdot0,8000 \approx 4{,}608\cdot10^{-6}.
Somando as três contribuições:
\sigma_R^{2} \approx 0,01016064 + 5{,}76\cdot10^{-6} + 4{,}608\cdot10^{-6} = 0,01016064 + 0,00000576 + 0,000004608 \approx 0,010171008.
Logo
\sigma_R = \sqrt{0,010171008}\approx 0,10085\\ \Omega.

Passo 6

Arredondamento e apresentação final.
Regra prática: apresentar a incerteza com uma ou duas cifras significativas e arredondar o valor medido para o mesmo lugar decimal. Aqui \sigma_R\approx0,10085\\ \Omega pode ser arredondada para 0,10\\ \Omega (duas cifras significativas). Assim o valor de R deve ser arredondado à segunda casa decimal:
R = 6,05\\ \Omega\quad\text{com}\quad\sigma_R = 0,10\\ \Omega.
Portanto a resposta final, em notação habitual, é R=(6,05\pm0,10)\\ \Omega.

Resposta

R=(6,05\pm0,10)\\ \Omega

Exercícios relacionados