2 (valor 4,0 pontos) Considere a função
definida por:
(a) Verifique se
é continua em
. Justifique sua resposta;
(b) Calcule as derivadas parciais primeiras
e
em
;
© A função
é diferenciável em
? Justifique sua resposta.
(b) Calcule as derivadas parciais primeiras
© A função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta uma função $ f(x, y) $ que tem definições diferentes dependendo se o ponto
é
ou não. A matéria que vamos utilizar envolve continuidade, derivadas parciais e diferenciabilidade. Para isso, precisaremos entender como analisar o comportamento da função perto do ponto
e aplicar as definições dessas propriedades matemáticas.
Passo 2
(a) Verificar se $ f $ é contínua em
.
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função $ f $ é contínua em
se o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Sabemos que $ f(0,0) = 0 $. Agora, vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando
. Para
, a função é:
Então, temos:
Vamos analisar cada termo separadamente:
- $ \lim_{(x, y) \to (0,0)} 2x y^{4} = 2 \cdot 0 \cdot 0^{4} = 0 $
- $ \lim_{(x, y) \to (0,0)} y^{2} = 0 $
Somando os limites:
Como o limite de $ f(x, y) $ quando
é igual a $ f(0,0) = 0 $, a função $ f $ é contínua em
.
Passo 3
(b) Calcular as derivadas parciais primeiras $ f_{x} $ e $ f_{y} $ em
.
As derivadas parciais de uma função em um ponto nos mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Vamos começar com $ f_{x} $ em
:
Calculando $ f(h, 0) $:
Então:
Agora, vamos calcular $ f_{y} $ em
:
Calculando $ f(0, k) $:
Então:
Portanto, as derivadas parciais em
são:
Passo 4
© A função $ f $ é diferenciável em
?
Para verificar se $ f $ é diferenciável em
, precisamos verificar se a aproximação linear da função é uma boa representação perto desse ponto. Mais formalmente, $ f $ é diferenciável em
se:
Sabemos que $ f(0,0) = 0 $, $ f_{x}(0,0) = 0 $ e $ f_{y}(0,0) = 0 $. Então, a expressão simplifica para:
Vamos substituir $ f(h, k) $:
Então:
Vamos analisar os limites dos termos separadamente:
- $ \frac{2h k{4}}{\sqrt{h{2} + k^{2}}} $: Como $ h $ e $ k $ tendem a zero, este termo tende a zero.
- $ \frac{k{2}}{\sqrt{h{2} + k^{2}}} $: Podemos ver que para $ k \neq 0 $, temos $ \frac{k{2}}{\sqrt{h{2} + k^{2}}} \leq |k| $. Como $ k $ tende a zero, esse termo também tende a zero.
Somando os dois termos:
Como o limite é zero, a função $ f $ é diferenciável em
.
Resposta
A função $ f $ é contínua em
, possui derivadas parciais primeiras $ f_{x}(0,0) = 0 $ e $ f_{y}(0,0) = 0 $, e é diferenciável em
.