2 (valor 4,0 pontos) Considere a função f definida por:
f(x, y)=ll 2 x^3 y^4x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
(a) Verifique se f é continua em (0,0). Justifique sua resposta;
(b) Calcule as derivadas parciais primeiras fx e fy em (0,0);
© A função f é diferenciável em (0,0) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta uma função $ f(x, y) $ que tem definições diferentes dependendo se o ponto f(x, y) é (x, y) ou não. A matéria que vamos utilizar envolve continuidade, derivadas parciais e diferenciabilidade. Para isso, precisaremos entender como analisar o comportamento da função perto do ponto (0,0) e aplicar as definições dessas propriedades matemáticas.

Passo 2

(a) Verificar se $ f $ é contínua em f .
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função $ f $ é contínua em (0,0) se o limite de $ f(x, y) $ quando f se aproxima de (0,0) for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
f(x, y)
Sabemos que $ f(0,0) = 0 $. Agora, vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando (x, y). Para (0,0), a função é:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0)
Então, temos:
f(0,0) = 0
Vamos analisar cada termo separadamente:
  1. $ \lim_{(x, y) \to (0,0)} 2x y^{4} = 2 \cdot 0 \cdot 0^{4} = 0 $
  2. $ \lim_{(x, y) \to (0,0)} y^{2} = 0 $
Somando os limites:
f(x, y)
Como o limite de $ f(x, y) $ quando (x, y) to (0,0) é igual a $ f(0,0) = 0 $, a função $ f $ é contínua em (x, y) neq (0,0).

Passo 3

(b) Calcular as derivadas parciais primeiras $ f_{x} $ e $ f_{y} $ em fx .
As derivadas parciais de uma função em um ponto nos mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Vamos começar com $ f_{x} $ em fy :
(0,0)
Calculando $ f(h, 0) $:
fx
Então:
(0,0)
Agora, vamos calcular $ f_{y} $ em fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h :
f(h, 0)
Calculando $ f(0, k) $:
f(h, 0) = 2h cdot 0^4 + 0^2 = 0
Então:
fx(0,0) = limh to 0 0 - 0h = 0
Portanto, as derivadas parciais em fy são:
(0,0)

Passo 4

© A função $ f $ é diferenciável em f ?
Para verificar se $ f $ é diferenciável em (0,0), precisamos verificar se a aproximação linear da função é uma boa representação perto desse ponto. Mais formalmente, $ f $ é diferenciável em f se:
(0,0)
Sabemos que $ f(0,0) = 0 $, $ f_{x}(0,0) = 0 $ e $ f_{y}(0,0) = 0 $. Então, a expressão simplifica para:
f
Vamos substituir $ f(h, k) $:
(0,0)
Então:
lim(h, k) to (0,0) f(h, k) - f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)kraizh^2 + k^2 = 0
Vamos analisar os limites dos termos separadamente:
  1. $ \frac{2h k{4}}{\sqrt{h{2} + k^{2}}} $: Como $ h $ e $ k $ tendem a zero, este termo tende a zero.
  2. $ \frac{k{2}}{\sqrt{h{2} + k^{2}}} $: Podemos ver que para $ k \neq 0 $, temos $ \frac{k{2}}{\sqrt{h{2} + k^{2}}} \leq |k| $. Como $ k $ tende a zero, esse termo também tende a zero.
Somando os dois termos:
f(0,0) = 0
Como o limite é zero, a função $ f $ é diferenciável em fx(0,0) = 0 .

Resposta

A função $ f $ é contínua em f , possui derivadas parciais primeiras $ f_{x}(0,0) = 0 $ e $ f_{y}(0,0) = 0 $, e é diferenciável em (0,0).

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