4 (valor 2,0 pontos) Determine a equação do plano tangente à superficie
S: x^2-2 y^2+3 z^2=5
, no ponto P(2,1,1).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície $ S: x^{2} - 2y^{2} + 3z^{2} = 5 $ no ponto $ P(2,1,1) $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o ponto $ P(2,1,1) $ realmente pertence à superfície $ S $. Substituindo as coordenadas de $ P $ na equação de $ S $:
P(2,1,1)
Como a igualdade se mantém, $ P $ está na superfície $ S $.

Passo 3

Em seguida, vamos encontrar o vetor gradiente da superfície $ S $. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é perpendicular à superfície. A função que representa a superfície é:
S
O gradiente $ \nabla f $ é dado pelas derivadas parciais em relação a $ x $, $ y $ e $ z $:
f(x, y, z) = x^2 - 2y^2 + 3z^2

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto $ P(2,1,1) $:
P(2,1,1)
Este vetor $ (4, -4, 6) $ será o vetor normal ao plano tangente.

Passo 5

Com o vetor normal conhecido e o ponto $ P(2,1,1) $, podemos usar a equação geral do plano:
P(2,1,1)
onde $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor normal e $ (x_0, y_0, z_0) $ são as coordenadas do ponto $ P $.
Substituindo os valores:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
4x - 8 - 4y + 4 + 6z - 6 = 0
4x - 4y + 6z - 10 = 0
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar ainda mais:
2x - 2y + 3z - 5 = 0

Resposta

A equação do plano tangente à superfície $ S $ no ponto $ P(2,1,1) $ é:
S

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