4 (valor 2,0 pontos) Determine a equação do plano tangente à superficie
, no ponto
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície $ S: x^{2} - 2y^{2} + 3z^{2} = 5 $ no ponto $ P(2,1,1) $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o ponto $ P(2,1,1) $ realmente pertence à superfície $ S $. Substituindo as coordenadas de $ P $ na equação de $ S $:
Como a igualdade se mantém, $ P $ está na superfície $ S $.
Passo 3
Em seguida, vamos encontrar o vetor gradiente da superfície $ S $. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é perpendicular à superfície. A função que representa a superfície é:
O gradiente $ \nabla f $ é dado pelas derivadas parciais em relação a $ x $, $ y $ e $ z $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto $ P(2,1,1) $:
Este vetor $ (4, -4, 6) $ será o vetor normal ao plano tangente.
Passo 5
Com o vetor normal conhecido e o ponto $ P(2,1,1) $, podemos usar a equação geral do plano:
onde $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor normal e $ (x_0, y_0, z_0) $ são as coordenadas do ponto $ P $.
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar ainda mais:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície $ S $ no ponto $ P(2,1,1) $ é: