Calcule
integral0^pi / 4 e^tg xcos ^2 x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida de 0 a π/4 de e^tan xcos^2 x,dx. O conteúdo principal aqui é substituição de variável (u-substituição) usando a derivada de tan x.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u = tan x. Sabemos que a derivada de tan x é sec^2 x = 1cos^2 x, ou seja: du = sec^2 x,dx = 1cos^2 x,dx Com isso, o diferencial dx junto de 1/cos^2 x vira simplesmente du.

Passo 3

Precisamos ajustar os limites de integração: quando x=0, temos u=tan 0=0; quando x=pi/4, temos u=tan(pi/4)=1. Logo, a integral em x se transforma em uma integral em u: integral0^pi/4 e^tan xcos^2 x,dx = integral0^1 e^u,du

Passo 4

Agora é só integrar e^u em relação a u: integral0^1 e^u,du = e^u |0^1 = e^1 - e^0 = e - 1

Resposta

e - 1

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