3 (valor 2,0 pontos) Calcule os limites, se existirem.
lim substackx 0 y 0 8 x^2 y^2(x+y^2)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos o limite da função 8x^2 y^2(x + y^2)^3 quando x e y se aproximam de 0. Isso faz parte do estudo de limites em funções de várias variáveis, onde analisamos o comportamento da função quando mais de uma variável tende a um valor específico. Para resolver, vamos verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos pelos quais x e y podem se aproximar de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Queremos ver qual valor a função 8x^2 y^2(x + y^2)^3 está se aproximando quando tanto x quanto y estão chegando perto de 0. Se o valor for o mesmo independente de como x e y se aproximam de 0, então o limite existe e é esse valor. Caso contrário, o limite não existe.

Passo 3

Vamos analisar primeiro o caminho onde x se aproxima de 0 enquanto y = 0. Substituindo y = 0 na função:
8x^2 cdot 0^2(x + 0^2)^3 = 0x^3 = 0
Então, ao longo do caminho y = 0, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos considerar o caminho onde y se aproxima de 0 enquanto x = 0. Substituindo x = 0 na função:
8 cdot 0^2 cdot y^2(0 + y^2)^3 = 0y^6 = 0
Portanto, ao longo do caminho x = 0, o limite também é 0.

Passo 5

Vamos testar outro caminho para ver se o limite permanece o mesmo. Vamos escolher y = raizx, onde x se aproxima de 0. Substituindo y = raizx na função:
8x^2 (raizx)^2(x + (raizx)^2)^3 = 8x^2 cdot x(x + x)^3 = 8x^3(2x)^3 = 8x^38x^3 = 1
Nesse caso, ao longo do caminho y = raizx, o limite é 1.

Passo 6

Comparando os resultados dos diferentes caminhos:
  • Caminho y = 0: limite = 0
  • Caminho x = 0: limite = 0
  • Caminho y = raizx: limite = 1
Como obtemos resultados diferentes dependendo do caminho escolhido, isso indica que o limite da função não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite não existe, pois valores diferentes são obtidos conforme o caminho de aproximação.

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