3 (valor 2,0 pontos) Calcule os limites, se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos o limite da função
quando
e
se aproximam de 0. Isso faz parte do estudo de limites em funções de várias variáveis, onde analisamos o comportamento da função quando mais de uma variável tende a um valor específico. Para resolver, vamos verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos pelos quais
e
podem se aproximar de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Queremos ver qual valor a função
está se aproximando quando tanto
quanto
estão chegando perto de 0. Se o valor for o mesmo independente de como
e
se aproximam de 0, então o limite existe e é esse valor. Caso contrário, o limite não existe.
Passo 3
Vamos analisar primeiro o caminho onde
se aproxima de 0 enquanto
. Substituindo
na função:
Então, ao longo do caminho
, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos considerar o caminho onde
se aproxima de 0 enquanto
. Substituindo
na função:
Portanto, ao longo do caminho
, o limite também é 0.
Passo 5
Vamos testar outro caminho para ver se o limite permanece o mesmo. Vamos escolher
, onde
se aproxima de 0. Substituindo
na função:
Nesse caso, ao longo do caminho
, o limite é 1.
Passo 6
Comparando os resultados dos diferentes caminhos:
- Caminho
: limite = 0 - Caminho
: limite = 0 - Caminho
: limite = 1
Como obtemos resultados diferentes dependendo do caminho escolhido, isso indica que o limite da função não é o mesmo em todas as direções.
Resposta
O limite não existe, pois valores diferentes são obtidos conforme o caminho de aproximação.