Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Estamos calculando a integral definida de 0 a 1 de (x^2+1)e^-x. O conteúdo principal é integração por partes e uso de antiderivadas de funções exponenciais.

Passo 2

Separemos a integral em duas partes: integral0^1(x^2+1)e^-x,dx=integral0^1x^2e^-x,dx+integral0^1e^-x,dx
Para integral x^2e^-x,dx aplicamos integração por partes duas vezes. Escolhendo u=x^2 e dv=e^-xdx, temos du=2x,dx e v=-e^-x. Então
integral x^2e^-x,dx=-x^2e^-x+integral2x e^-x,dx

Passo 3

Ainda por partes em integral2x e^-x,dx, escolhemos u=2x, dv=e^-xdx, resultando em
integral2x e^-x,dx=-2x e^-x+integral2e^-x,dx=-2x e^-x-2e^-x

Passo 4

Logo a antiderivada de x^2e^-x é
integral x^2e^-x,dx=-(x^2+2x+2)e^-x+C
A antiderivada de e^-x é -e^-x+C. Somando as duas,
integral(x^2+1)e^-x,dx=-(x^2+2x+2)e^-x-e^-x+C=-(x^2+2x+3)e^-x+C

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 1:
l[-(x^2+2x+3)e^-xr]0^1=l[-6e^-1r]-l[-3r]=3-6e

Resposta

3-6e

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