(Valor: 1,5 pontos) Utilizando os resultados do exercício 3 e a teoria de propagação de erros, determine:
a) a área da folha e seu respectivo erro
b) densidade superficial da folha e seu respectivo erro.
a) a área da folha e seu respectivo erro
b) densidade superficial da folha e seu respectivo erro.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) a área da folha e seu erro;
- (b) a densidade superficial da folha e seu erro.
Informações fornecidas no enunciado: apenas que devo “utilizar os resultados do exercício 3” e a teoria de propagação de erros.
Informações que estão faltando e que são necessárias para obter valores numéricos: os resultados do exercício 3 (por exemplo, as medidas e seus erros: comprimento
, largura
, massa
e respectivos erros
). Sem esses valores numéricos não há como calcular números finais.
Portanto, vou:
Portanto, vou:
- primeiro explicar detalhadamente a teoria e o método (propagação de erros) passo a passo, mostrando as fórmulas que você deve aplicar na prova;
- em seguida apresentar as expressões finais (simbolicamente) que permitem calcular a área e a densidade superficial e seus erros a partir dos dados do exercício 3;
- por fim dou um exemplo numérico ilustrativo (hipotético) para mostrar como executar as contas na prática.
Passo 2
Conceito e fórmula geral de propagação de erros (modo pouca álgebra, passo a passo).
Se uma grandeza depende de variáveis independentes
que foram medidas com erros
e os erros são pequenos e independentes, a estimativa do erro padrão em
(pela aproximação linear) é dada por:
Se uma grandeza
Explicando devagar:
-
significa a derivada parcial de em relação a : ela mostra quanto muda se muda um pouco, mantendo as outras variáveis constantes. - Multiplica-se essa derivada pelo erro
para estimar a contribuição de ao erro de . - Soma-se as contribuições em quadratura (raiz da soma dos quadrados) porque assumimos ruídos independentes (sem correlação).
- Esse resultado é a forma padrão usada em provas para obter o erro de uma função de medidas.
Passo 3
Área da folha. Hipótese razoável (que costuma aparecer em exercícios): a folha é retangular com comprimento
e largura
, medidos no exercício 3 com erros
e
.
Definição da área:
Definição da área:
Aplicando a fórmula de propagação de erros: as variáveis independentes são
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Logo o erro em
é
Podemos também escrever isso em forma de erro relativo (muito útil na prova):
Interpretação prática: a incerteza relativa da área é a raiz quadrada da soma dos quadrados das incertezas relativas do comprimento e da largura (quando
e
são independentes e os erros são pequenos).
Passo 4
Densidade superficial da folha. Definimos a densidade superficial (massa por unidade de área) como:
onde
é a massa medida (com erro
) e
a área definida acima (com erro
).
Aplicando propagação de erros a (variáveis independentes
e
):
Calcule as derivadas parciais:
Aplicando propagação de erros a
Calcule as derivadas parciais:
Pelo método de propagação:
Simplificando usando
:
Interpretação: a incerteza relativa da densidade superficial
junta em quadratura a incerteza relativa da massa e a incerteza relativa da área.
Passo 5
Roteiro prático para aplicar isso na prova (passo a passo curto e amigável):
- Pegue do exercício 3 os valores e erros:
. Se o exercício 3 der outras grandezas equivalentes (por ex., diâmetro e largura) adapte para obter em termos dessas grandezas e calcule as derivadas parciais correspondente. - Calcule
. - Calcule
(ou use a forma relativa). - Calcule
. - Calcule
. - Arredonde os resultados finais com um número apropriado de algarismos significativos compatível com os erros (geralmente duas casas significativas no erro e ajuste do valor).
Passo 6
Exemplo numérico ilustrativo (hipotético) — só para ver como executar as contas na prática:
Suponha (apenas exemplo) com
,
com
, e
com
.
Suponha (apenas exemplo)
- Área:
. - Erro em
:
- Densidade superficial:
- Erro relativo em
: . Erro relativo em : . - Erro em
:
Resultado ilustrativo:
.
(Repito: esses números são só um exemplo. Para a sua questão, substitua os valores reais vindos do exercício 3.)
(Repito: esses números são só um exemplo. Para a sua questão, substitua os valores reais vindos do exercício 3.)
Resposta
a)
\
b)
\