(Valor: 1,5 pontos) Utilizando os resultados do exercício 3 e a teoria de propagação de erros, determine:
a) a área da folha e seu respectivo erro
b) densidade superficial da folha e seu respectivo erro.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) a área da folha e seu erro;
  • (b) a densidade superficial da folha e seu erro.
Informações fornecidas no enunciado: apenas que devo “utilizar os resultados do exercício 3” e a teoria de propagação de erros.
Informações que estão faltando e que são necessárias para obter valores numéricos: os resultados do exercício 3 (por exemplo, as medidas e seus erros: comprimento L, largura W, massa m e respectivos erros \Delta L,\Delta W,\Delta m). Sem esses valores numéricos não há como calcular números finais.
Portanto, vou:
  • primeiro explicar detalhadamente a teoria e o método (propagação de erros) passo a passo, mostrando as fórmulas que você deve aplicar na prova;
  • em seguida apresentar as expressões finais (simbolicamente) que permitem calcular a área e a densidade superficial e seus erros a partir dos dados do exercício 3;
  • por fim dou um exemplo numérico ilustrativo (hipotético) para mostrar como executar as contas na prática.

Passo 2

Conceito e fórmula geral de propagação de erros (modo pouca álgebra, passo a passo).
Se uma grandeza f depende de variáveis independentes x,y,z,\dots que foram medidas com erros \Delta x,\Delta y,\Delta z,\dots e os erros são pequenos e independentes, a estimativa do erro padrão em f (pela aproximação linear) é dada por:
\Delta f \;=\; \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial z}\Delta z\right)^{2}+\cdots }.
Explicando devagar:
  • \frac{\partial f}{\partial x} significa a derivada parcial de f em relação a x: ela mostra quanto f muda se x muda um pouco, mantendo as outras variáveis constantes.
  • Multiplica-se essa derivada pelo erro \Delta x para estimar a contribuição de x ao erro de f.
  • Soma-se as contribuições em quadratura (raiz da soma dos quadrados) porque assumimos ruídos independentes (sem correlação).
  • Esse resultado é a forma padrão usada em provas para obter o erro de uma função de medidas.

Passo 3

Área da folha. Hipótese razoável (que costuma aparecer em exercícios): a folha é retangular com comprimento L e largura W, medidos no exercício 3 com erros \Delta L e \Delta W.
Definição da área:
A = L\,W.
Aplicando a fórmula de propagação de erros: as variáveis independentes são L e W. Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial A}{\partial L} = W,\qquad \frac{\partial A}{\partial W}=L.
Logo o erro em A é
\Delta A = \sqrt{(W\,\Delta L)^{2} + (L\,\Delta W)^{2}}.
Podemos também escrever isso em forma de erro relativo (muito útil na prova):
\frac{\Delta A}{A} = \sqrt{\left(\frac{\Delta L}{L}\right)^{2} + \left(\frac{\Delta W}{W}\right)^{2}}.
Interpretação prática: a incerteza relativa da área é a raiz quadrada da soma dos quadrados das incertezas relativas do comprimento e da largura (quando L e W são independentes e os erros são pequenos).

Passo 4

Densidade superficial da folha. Definimos a densidade superficial (massa por unidade de área) como:
\sigma = \frac{m}{A},
onde m é a massa medida (com erro \Delta m) e A a área definida acima (com erro \Delta A).
Aplicando propagação de erros a \sigma(m,A)=m/A (variáveis independentes m e A):
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial \sigma}{\partial m} = \frac{1}{A},\qquad \frac{\partial \sigma}{\partial A} = -\frac{m}{A^{2}} = -\frac{\sigma}{A}.
Pelo método de propagação:
\Delta \sigma = \sqrt{\left(\frac{\partial \sigma}{\partial m}\Delta m\right)^{2}+\left(\frac{\partial \sigma}{\partial A}\Delta A\right)^{2}} =\sqrt{\left(\frac{\Delta m}{A}\right)^{2}+\left(\frac{m\,\Delta A}{A^{2}}\right)^{2}}.
Simplificando usando \sigma = m/A:
\Delta \sigma = \sigma \sqrt{\left(\frac{\Delta m}{m}\right)^{2}+\left(\frac{\Delta A}{A}\right)^{2}}.
Interpretação: a incerteza relativa da densidade superficial \sigma junta em quadratura a incerteza relativa da massa e a incerteza relativa da área.

Passo 5

Roteiro prático para aplicar isso na prova (passo a passo curto e amigável):
  1. Pegue do exercício 3 os valores e erros: L,\Delta L,W,\Delta W,m,\Delta m. Se o exercício 3 der outras grandezas equivalentes (por ex., diâmetro e largura) adapte para obter A em termos dessas grandezas e calcule as derivadas parciais correspondente.
  2. Calcule A=L W.
  3. Calcule \Delta A=\sqrt{(W\,\Delta L)^{2}+(L\,\Delta W)^{2}} (ou use a forma relativa).
  4. Calcule \sigma=m/A.
  5. Calcule \Delta \sigma=\sigma\sqrt{(\Delta m/m)^{2}+(\Delta A/A)^{2}}.
  6. Arredonde os resultados finais com um número apropriado de algarismos significativos compatível com os erros (geralmente duas casas significativas no erro e ajuste do valor).

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (hipotético) — só para ver como executar as contas na prática:
Suponha (apenas exemplo) L=0{,}30\\ \text{m} com \Delta L=0{,}002\\ \text{m}, W=0{,}20\\ \text{m} com \Delta W=0{,}002\\ \text{m}, e m=0{,}004\\ \text{kg} com \Delta m=0{,}0001\\ \text{kg}.
  • Área: A = 0{,}30\cdot0{,}20 = 0{,}060\\ \text{m}^{2}.
  • Erro em A:
\Delta A=\sqrt{(0{,}20\cdot0{,}002)^{2}+(0{,}30\cdot0{,}002)^{2}} =\sqrt{(0{,}0004)^{2}+(0{,}0006)^{2}} =\sqrt{1{,}6\times10^{-7}+3{,}6\times10^{-7}} =\sqrt{5{,}2\times10^{-7}}\approx7{,}21\times10^{-4}\\ \text{m}^{2}.
  • Densidade superficial: \sigma = m/A = 0{,}004/0{,}060 \approx 0{,}0667\\ \text{kg}\,\text{m}^{-2}.
  • Erro relativo em m: \Delta m/m = 0{,}0001/0{,}004 = 0{,}025. Erro relativo em A: \Delta A/A \approx 7{,}21\times10^{-4}/0{,}060 \approx 0{,}0120.
  • Erro em \sigma:
\Delta \sigma = \sigma\sqrt{0{,}025^{2}+0{,}0120^{2}} \approx 0{,}0667\sqrt{0{,}000625+0{,}000144} \approx 0{,}0667\sqrt{0{,}000769} \approx 0{,}0667\cdot0{,}0277\approx1{,}85\times10^{-3}\\ \text{kg}\,\text{m}^{-2}.
Resultado ilustrativo: \sigma=(6{,}67\pm0{,}19)\times10^{-2}\\ \text{kg}\,\text{m}^{-2}.
(Repito: esses números são só um exemplo. Para a sua questão, substitua os valores reais vindos do exercício 3.)

Resposta

a) A = L\,W \
\displaystyle \Delta A = \sqrt{(W\,\Delta L)^{2} + (L\,\Delta W)^{2}} = A\sqrt{\left(\frac{\Delta L}{L}\right)^{2} + \left(\frac{\Delta W}{W}\right)^{2}}
b) \displaystyle \sigma = \frac{m}{A} = \frac{m}{L\,W} \
\displaystyle \Delta \sigma = \sqrt{\left(\frac{\Delta m}{A}\right)^{2}+\left(\frac{m\,\Delta A}{A^{2}}\right)^{2}} = \sigma\sqrt{\left(\frac{\Delta m}{m}\right)^{2}+\left(\frac{\Delta A}{A}\right)^{2}}

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