(Valor: 1,5 pontos) As medidas da massa, comprimento e largura de uma folha foram obtidas 8 vezes e os resultados estão colocados na tabela abaixo.
massa (\mathrm{g})
4,51 4,43
4,46 4,41
4,56 4,56
4,61 4,61
largura (cm)
21,0 21,1
21,2 20,9
20,8 20,8
21,1 20,7
comprimento (cm)
30,2 29,8
29,8 30,1
29,9 29,9
30,1 29,9
Usando estes dados e levando em conta os algarismos significativos, determine:
a) os valores médios da massa, comprimento e largura da folha.
b) o desvio padrão das medidas da massa, comprimento e largura da folha.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) os valores médios (média aritmética) das medidas de massa, comprimento e largura;
  • (b) o desvio padrão das medidas de massa, comprimento e largura.
Os dados fornecidos (peguei-os do enunciado) são 8 medidas para cada grandeza:
  • massa (g): 4,51,\;4,43,\;4,46,\;4,41,\;4,56,\;4,56,\;4,61,\;4,61.
  • largura (cm): 21,0,\;21,1,\;21,2,\;20,9,\;20,8,\;20,8,\;21,1,\;20,7.
  • comprimento (cm): 30,2,\;29,8,\;29,8,\;30,1,\;29,9,\;29,9,\;30,1,\;29,9.
Tenho que calcular para cada conjunto:
  • a média aritmética \bar{x};
  • o desvio padrão amostral s=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}, com n=8.

Passo 2

Definições e fórmula da média — mini-aula:
  • A média aritmética de n medidas x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
  • Aqui x_i são as medidas individuais e n é o número total de medidas (aqui n=8).
    A média é um valor central que resume as medidas; calculamos somando tudo e dividindo por n.
Cálculo das médias (mostrando as somas para ficar claro):
Massa:
\sum x_i = 4{,}51+4{,}43+4{,}46+4{,}41+4{,}56+4{,}56+4{,}61+4{,}61 = 36{,}15
\bar{x}_{\text{massa}}=\frac{36{,}15}{8}=4{,}51875.
Largura:
\sum x_i = 21{,}0+21{,}1+21{,}2+20{,}9+20{,}8+20{,}8+21{,}1+20{,}7 = 167{,}6
\bar{x}_{\text{largura}}=\frac{167{,}6}{8}=20{,}95.
Comprimento:
\sum x_i = 30{,}2+29{,}8+29{,}8+30{,}1+29{,}9+29{,}9+30{,}1+29{,}9 = 239{,}7
\bar{x}_{\text{compr.}}=\frac{239{,}7}{8}=29{,}9625.
Observação sobre algarismos: estes são os valores numéricos exatos das médias; depois eu explico como arredondar respeitando algarismos significativos.

Passo 3

Definição e motivo do desvio padrão amostral — mini-aula:
  • O desvio padrão mede a dispersão das observações em relação à média.
  • Para amostras usa-se a fórmula com n-1 no denominador (chamada correção de Bessel) para obter estimador não viciado da variância da população.
  • Fórmula:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.
Aqui x_i são as medidas, \bar{x} é a média e n o número de medidas.
Vou calcular passo a passo para cada conjunto: diferenças x_i-\bar{x}, quadrados e soma dos quadrados, depois dividir por n-1=7 e extrair raiz quadrada.

Passo 4

Cálculo do desvio padrão para a massa (detalhado):
Diferenças em relação à média \bar{x}_{\text{massa}}=4{,}51875:
\begin{aligned} &4{,}51-4{,}51875=-0{,}00875,\quad ( -0{,}00875)^2=0{,}0000765625,\\\ &4{,}43-4{,}51875=-0{,}08875,\quad ( -0{,}08875)^2=0{,}0078765625,\\\ &4{,}46-4{,}51875=-0{,}05875,\quad ( -0{,}05875)^2=0{,}0034515625,\\\ &4{,}41-4{,}51875=-0{,}10875,\quad ( -0{,}10875)^2=0{,}0118265625,\\\ &4{,}56-4{,}51875=0{,}04125,\quad (0{,}04125)^2=0{,}0017015625,\\\ &4{,}56-4{,}51875=0{,}04125,\quad (0{,}04125)^2=0{,}0017015625,\\\ &4{,}61-4{,}51875=0{,}09125,\quad (0{,}09125)^2=0{,}0083265625,\\\ &4{,}61-4{,}51875=0{,}09125,\quad (0{,}09125)^2=0{,}0083265625. \end{aligned}
Soma dos quadrados:
\sum (x_i-\bar{x})^2 = 0{,}0432875.
Variância amostral:
s^2=\frac{0{,}0432875}{7}=0{,}00618392857\ldots
Desvio padrão:
s_{\text{massa}}=\sqrt{0{,}00618392857\ldots}\approx 0{,}07865\\ \text{g}.

Passo 5

Cálculo do desvio padrão para a largura (forma compacta aproveitando simetrias):
Média \bar{x}_{\text{largura}}=20{,}95. Diferenças e quadrados (valores simples aqui porque aparecem pares simétricos):
\begin{aligned} &21{,}0-20{,}95=0{,}05,\quad (0{,}05)^2=0{,}0025,\\\ &21{,}1-20{,}95=0{,}15,\quad (0{,}15)^2=0{,}0225,\\\ &21{,}2-20{,}95=0{,}25,\quad (0{,}25)^2=0{,}0625,\\\ &20{,}9-20{,}95=-0{,}05,\quad (-0{,}05)^2=0{,}0025,\\\ &20{,}8-20{,}95=-0{,}15,\quad (-0{,}15)^2=0{,}0225,\\\ &20{,}8-20{,}95=-0{,}15,\quad 0{,}0225,\\\ &21{,}1-20{,}95=0{,}15,\quad 0{,}0225,\\\ &20{,}7-20{,}95=-0{,}25,\quad 0{,}0625. \end{aligned}
Soma dos quadrados:
\sum (x_i-\bar{x})^2 = 0{,}22.
Variância amostral:
s^2=\frac{0{,}22}{7}=0{,}0314285714\ldots
Desvio padrão:
s_{\text{largura}}=\sqrt{0{,}0314285714\ldots}\approx 0{,}1773\\ \text{cm}.

Passo 6

Cálculo do desvio padrão para o comprimento (detalhado compacto):
Média \bar{x}_{\text{compr.}}=29{,}9625. Diferenças quadradas já calculadas de forma compacta (aproveitando repetições):
Quadrados das diferenças somados:
\sum (x_i-\bar{x})^2 = 0{,}15875.
Variância amostral:
s^2=\frac{0{,}15875}{7}=0{,}0226785714\ldots
Desvio padrão:
s_{\text{compr.}}=\sqrt{0{,}0226785714\ldots}\approx 0{,}1506\\ \text{cm}.

Passo 7

Arredondamento e algarismos significativos — mini-aula e justificativa:
  • As medidas originais têm uma precisão implícita: massa com duas casas decimais (0{,}01 g), largura e comprimento com uma casa decimal (0{,}1 cm).
  • Boa prática: apresentar o desvio padrão com uma ou duas cifras significativas (muito usado: duas cifras significativas quando dá informação útil), e arredondar a média para ter a mesma casa decimal da incerteza (desvio).
  • Valores numéricos obtidos:
    • médias exatas: \bar{x}_{\text{massa}}=4{,}51875\\ \text{g}, \bar{x}_{\text{largura}}=20{,}95\\ \text{cm}, \bar{x}_{\text{compr.}}=29{,}9625\\ \text{cm}.
    • desvios padrão calculados: s_{\text{massa}}\approx0{,}07865\\ \text{g}, s_{\text{largura}}\approx0{,}1773\\ \text{cm}, s_{\text{compr.}}\approx0{,}1506\\ \text{cm}.
  • Vou arredondar os desvios padrão com duas algarismos significativos (prática comum):
    • s_{\text{massa}}\approx0{,}079\\ \text{g} (duas cifras significativas: 7 e 9),
    • s_{\text{largura}}\approx0{,}18\\ \text{cm},
    • s_{\text{compr.}}\approx0{,}15\\ \text{cm}.
  • Então devo apresentar as médias com a mesma casa decimal que as incertezas:
    • massa: manter duas casas decimais: \bar{x}_{\text{massa}}=4{,}52\\ \text{g} (porque 0{,}079 tem 3 casas decimais mas relevante é até centésimos para a massa);
    • largura: como s_{\text{largura}}=0{,}18\\ \text{cm} tem duas casas decimais, apresento \bar{x}_{\text{largura}}=20{,}95\\ \text{cm};
    • comprimento: com s_{\text{compr.}}=0{,}15\\ \text{cm} apresento \bar{x}_{\text{compr.}}=29{,}96\\ \text{cm}.
(Obs.: outra prática aceitável seria arredondar os desvios para uma única casa significativa e as médias consistentemente; coloquei duas cifras significativas nos desvios porque os valores são pequenos e isso mantém informação útil.)

Resposta

(a) massa =4{,}52\\ \mathrm{g}, comprimento =29{,}96\\ \mathrm{cm}, largura =20{,}95\\ \mathrm{cm}
(b) desvio padrão da massa =0{,}079\\ \mathrm{g}, desvio padrão do comprimento =0{,}15\\ \mathrm{cm}, desvio padrão da largura =0{,}18\\ \mathrm{cm}

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