(Valor: 1,5 pontos) As medidas da massa, comprimento e largura de uma folha foram obtidas 8 vezes e os resultados estão colocados na tabela abaixo.
massa (\mathrm{g})
4,51
4,43
4,46
4,41
4,56
4,56
4,61
4,61
largura (cm)
21,0
21,1
21,2
20,9
20,8
20,8
21,1
20,7
comprimento (cm)
30,2
29,8
29,8
30,1
29,9
29,9
30,1
29,9
Usando estes dados e levando em conta os algarismos significativos, determine:
a) os valores médios da massa, comprimento e largura da folha.
b) o desvio padrão das medidas da massa, comprimento e largura da folha.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) os valores médios (média aritmética) das medidas de massa, comprimento e largura;
(b) o desvio padrão das medidas de massa, comprimento e largura.
Os dados fornecidos (peguei-os do enunciado) são 8 medidas para cada grandeza:
massa (g): 4,51,\;4,43,\;4,46,\;4,41,\;4,56,\;4,56,\;4,61,\;4,61.
o desvio padrão amostral s=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}, com n=8.
Passo 2
Definições e fórmula da média — mini-aula:
A média aritmética de n medidas x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
Aqui x_i são as medidas individuais e n é o número total de medidas (aqui n=8).
A média é um valor central que resume as medidas; calculamos somando tudo e dividindo por n.
Cálculo das médias (mostrando as somas para ficar claro):
Observação sobre algarismos: estes são os valores numéricos exatos das médias; depois eu explico como arredondar respeitando algarismos significativos.
Passo 3
Definição e motivo do desvio padrão amostral — mini-aula:
O desvio padrão mede a dispersão das observações em relação à média.
Para amostras usa-se a fórmula com n-1 no denominador (chamada correção de Bessel) para obter estimador não viciado da variância da população.
Aqui x_i são as medidas, \bar{x} é a média e n o número de medidas.
Vou calcular passo a passo para cada conjunto: diferenças x_i-\bar{x}, quadrados e soma dos quadrados, depois dividir por n-1=7 e extrair raiz quadrada.
Passo 4
Cálculo do desvio padrão para a massa (detalhado):
Diferenças em relação à média \bar{x}_{\text{massa}}=4{,}51875:
Arredondamento e algarismos significativos — mini-aula e justificativa:
As medidas originais têm uma precisão implícita: massa com duas casas decimais (0{,}01 g), largura e comprimento com uma casa decimal (0{,}1 cm).
Boa prática: apresentar o desvio padrão com uma ou duas cifras significativas (muito usado: duas cifras significativas quando dá informação útil), e arredondar a média para ter a mesma casa decimal da incerteza (desvio).
Vou arredondar os desvios padrão com duas algarismos significativos (prática comum):
s_{\text{massa}}\approx0{,}079\\ \text{g} (duas cifras significativas: 7 e 9),
s_{\text{largura}}\approx0{,}18\\ \text{cm},
s_{\text{compr.}}\approx0{,}15\\ \text{cm}.
Então devo apresentar as médias com a mesma casa decimal que as incertezas:
massa: manter duas casas decimais: \bar{x}_{\text{massa}}=4{,}52\\ \text{g} (porque 0{,}079 tem 3 casas decimais mas relevante é até centésimos para a massa);
largura: como s_{\text{largura}}=0{,}18\\ \text{cm} tem duas casas decimais, apresento \bar{x}_{\text{largura}}=20{,}95\\ \text{cm};
comprimento: com s_{\text{compr.}}=0{,}15\\ \text{cm} apresento \bar{x}_{\text{compr.}}=29{,}96\\ \text{cm}.
(Obs.: outra prática aceitável seria arredondar os desvios para uma única casa significativa e as médias consistentemente; coloquei duas cifras significativas nos desvios porque os valores são pequenos e isso mantém informação útil.)
Resposta
(a) massa =4{,}52\\ \mathrm{g}, comprimento =29{,}96\\ \mathrm{cm}, largura =20{,}95\\ \mathrm{cm}
(b) desvio padrão da massa =0{,}079\\ \mathrm{g}, desvio padrão do comprimento =0{,}15\\ \mathrm{cm}, desvio padrão da largura =0{,}18\\ \mathrm{cm}