(Valor: 1,0 pontos) A relação entre a altura h atingida por um líquido em um tubo capilar vertical, e o raio r do tubo, é dada por: \mathrm{h}=2 . \delta /(\mu . \mathrm{g} . \mathrm{r}), onde \delta é a tensão superficial do líquido, \mu sua massa específica, e g a aceleração da gravidade. Determine a altura atingida pelo álcool em um capilar com 0,40 \mathrm{~mm} de raio, dado que \delta=22,3 \times 10^{-5} \mathrm{~N} / \mathrm{cm}, \mu=0,7894 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e g =9,8066 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a relação
h=\frac{2\,\delta}{\mu\,g\,r}
e fornece os seguintes dados:
  • \delta=22{,}3\times10^{-5}\\ \mathrm{N/cm}.
  • \mu=0{,}7894\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • r=0{,}40\\ \mathrm{mm}.
  • g=9{,}8066\\ \mathrm{m/s^{2}}.
A pergunta do enunciado é: determinar a altura h atingida pelo álcool no capilar (dar o valor numérico de h).

Passo 2

Precisamos usar unidades consistentes. Vou trabalhar no SI (metros, quilogramas, Newtons). Converter cada dado para SI:
  • Converter \delta de \mathrm{N/cm} para \mathrm{N/m}. Como 1\\ \mathrm{N/cm}=100\\ \mathrm{N/m},
\delta = 22{,}3\times10^{-5}\\ \mathrm{N/cm} = 22{,}3\times10^{-5}\times100\\ \mathrm{N/m}=0{,}0223\\ \mathrm{N/m}.
  • Converter \mu de \mathrm{g/cm^{3}} para \mathrm{kg/m^{3}}. Como 1\\ \mathrm{g/cm^{3}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}},
\mu = 0{,}7894\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 0{,}7894\times1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} = 789{,}4\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Converter r de \mathrm{mm} para \mathrm{m}. Como 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m},
r = 0{,}40\\ \mathrm{mm} = 0{,}40\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 0{,}00040\\ \mathrm{m}.
  • g já está em SI: g=9{,}8066\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Agora todos os dados estão em unidades compatíveis.

Passo 3

Interpretação física rápida da fórmula (para entender na prova): a elevação capilar h aparece pelo equilíbrio entre a pressão de Laplace gerada pela tensão superficial, de ordem \dfrac{2\delta}{r}, e a pressão hidrostática \mu g h. Igualando as pressões chega-se à fórmula
h=\frac{2\,\delta}{\mu\,g\,r}.
Aqui:
  • \delta é a tensão superficial (unidade \mathrm{N/m}),
  • \mu é a massa específica (unidade \mathrm{kg/m^3}),
  • g é a aceleração da gravidade (unidade \mathrm{m/s^2}),
  • r é o raio do tubo (unidade \mathrm{m}),
  • h será obtido em metros.

Passo 4

Substituir os valores convertidos na fórmula e calcular passo a passo.
Calcular o numerador:
2\delta = 2\cdot0{,}0223\\ \mathrm{N/m} = 0{,}0446\\ \mathrm{N/m}.
Calcular o produto no denominador em duas etapas:
\mu\,r = 789{,}4\cdot0{,}00040 = 0{,}31576\quad(\text{unidade } \mathrm{kg/m^{2}}).
\mu\,g\,r = 0{,}31576\cdot9{,}8066 = 3{,}0965324\quad(\text{unidade } \mathrm{kg/(m\,s^{2})}).
Agora calcular h:
h=\frac{0{,}0446}{3{,}0965324} \approx 0{,}0144006\\ \mathrm{m}.
Converter para centímetros e milímetros, se desejar:
h \approx 0{,}0144006\\ \mathrm{m} = 1{,}44006\\ \mathrm{cm} = 14{,}4006\\ \mathrm{mm}.
Arredondando de forma razoável (por exemplo, três algarismos significativos):
h \approx 0{,}01440\\ \mathrm{m} = 1{,}440\\ \mathrm{cm} = 14{,}40\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Resumo curto e incentivo: pronto — o álcool sobe bastante no capilar fino (cerca de 1{,}44\\ \mathrm{cm}). Na prova mostre as conversões de unidades como fiz aqui e calcule o denominador em etapas (primeiro \mu r, depois multiplicar por g) para evitar erro numérico. Força aí, está indo bem!

Resposta

h = 0{,}01440\\ \mathrm{m} \approx 1{,}440\\ \mathrm{cm}

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