(Valor 2,0 pts) Em um determinado recipiente cilíndrico tem-se os seguintes fluidos em camadas (diferentes fases) em ordem do fundo ao topo do recipiente: mercúrio, fluido X , água e óleo. Considerando que nesse sistema a pressão atmosférica é 101,33 kPa e a pressão no fundo do tanque é 242 kPa , qual a densidade relativa do fluido X ? Desenhe o esquema da situação descrita nesta questão. Considere g=9,807 m / s^2 e rho ó<=o =891 kg / m^3 ; rho água =óá 998 kg / m^3 ; rho mercúrio =13550 kg / m^3ú

Passo 1

Beleza, aqui vai o que a gente tem e o que precisamos fazer.
Enunciado em resumo: num cilindro temos, de baixo pra cima, quatro fluidos em camadas – mercúrio, um tal “fluido X” (densidade desconhecida), água e óleo – e a pressão no topo é a pressão atmosférica . Lá no fundo do tanque a pressão é . Precisamos achar a densidade relativa do fluido X (ou seja, á).
Conteúdo da matéria: hidrostatismo – equação de Stevino ( ) e soma de pressões de camadas.
O que vamos precisar:
  1. densidades dadas:
  • á
  • ó
  1. acelerar da gravidade
  2. as alturas de cada camada: vou chamar de , , á e ó.
    Esquema (em texto):
    [ topo ]
    óleo (ρ=891) altura ó
    água (ρ=998) altura á
    X (ρ= ) altura
    mercúrio (ρ=13 550) altura
    [ fundo ]

Passo 2

Teoria básica: a cada camada de fluido, a pressão aumenta em Pf ;=; P0 ;+; gl(rhorm Hg,hrm Hg + rhoX,hX + rhorm água,hrm água + rhorm ó<=o,hrm ó<=or) . Se empilhamos várias camadas, a pressão no fundo é
ááóó

Passo 3

Agora monta a equação com os valores conhecidos de 242;000 - 101,330 ;=; 9,807l(13,550,hrm Hg + rhoX,hX + 998,hrm água + 891,hrm ó<=or), e :
áó
onde troquei kPa por Pa (multiplicando por ).

Passo 4

Isola o termo que envolve rhoX,hX = 242,000 - 101,3309,807 ;-; l(13,550,hrm Hg + 998,hrm água + 891,hrm ó<=or) :
[
\rho_X,h_X

\frac{242,000 - 101,330}{9{,}807}
;-;
\bigl(13,550,h_{\rm Hg} + 998,h_{\rm água} + 891,h_{\rm óleo}\bigr).
]

Passo 5

Finalmente, a densidade relativa do fluido X é
[
\boxed{
\frac{\rho_X}{\rho_{\rm água}}

\frac{1}{998,h_X}
\left[
\frac{242,000 - 101,330}{9{,}807}
;-;
\bigl(13,550,h_{\rm Hg} + 998,h_{\rm água} + 891,h_{\rm óleo}\bigr)
\right].
}
]

Resposta

A densidade relativa do fluido X em função das alturas das camadas é
[
\displaystyle
\frac{\rho_X}{\rho_{\rm água}}

\frac{1}{998,h_X}
\Biggl[
\frac{242,000 - 101,330}{9{,}807}
;-;
\bigl(13,550,h_{\rm Hg} + 998,h_{\rm água} + 891,h_{\rm óleo}\bigr)
\Biggr].
]

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