(Valor 2,0 pts) Em um determinado recipiente cilíndrico tem-se os seguintes fluidos em camadas (diferentes fases) em ordem do fundo ao topo do recipiente: mercúrio, fluido X , água e óleo. Considerando que nesse sistema a pressão atmosférica é
e a pressão no fundo do tanque é 242 kPa , qual a densidade relativa do fluido X ? Desenhe o esquema da situação descrita nesta questão. Considere
e
Passo 1
Beleza, aqui vai o que a gente tem e o que precisamos fazer.
Enunciado em resumo: num cilindro temos, de baixo pra cima, quatro fluidos em camadas – mercúrio, um tal “fluido X” (densidade desconhecida), água e óleo – e a pressão no topo é a pressão atmosférica . Lá no fundo do tanque a pressão é
. Precisamos achar a densidade relativa do fluido X (ou seja,
).
Conteúdo da matéria: hidrostatismo – equação de Stevino ( ) e soma de pressões de camadas.
O que vamos precisar:
Enunciado em resumo: num cilindro temos, de baixo pra cima, quatro fluidos em camadas – mercúrio, um tal “fluido X” (densidade desconhecida), água e óleo – e a pressão no topo é a pressão atmosférica
Conteúdo da matéria: hidrostatismo – equação de Stevino (
O que vamos precisar:
- densidades dadas:
- acelerar da gravidade
- as alturas de cada camada: vou chamar de
, , e .
Esquema (em texto):
[ topo ]
óleo (ρ=891) altura
água (ρ=998) altura
X (ρ=) altura
mercúrio (ρ=13 550) altura
[ fundo ]
Passo 2
Teoria básica: a cada camada de fluido, a pressão aumenta em
. Se empilhamos várias camadas, a pressão no fundo é
Passo 3
Agora monta a equação com os valores conhecidos de
e
:
onde troquei kPa por Pa (multiplicando por
).
Passo 4
Isola o termo que envolve
:
[
\rho_X,h_X
\frac{242,000 - 101,330}{9{,}807}
;-;
\bigl(13,550,h_{\rm Hg} + 998,h_{\rm água} + 891,h_{\rm óleo}\bigr).
]
;-;
\bigl(13,550,h_{\rm Hg} + 998,h_{\rm água} + 891,h_{\rm óleo}\bigr).
]
Passo 5
Finalmente, a densidade relativa do fluido X é
[
\boxed{
\frac{\rho_X}{\rho_{\rm água}}
\frac{1}{998,h_X}
\left[
\frac{242,000 - 101,330}{9{,}807}
;-;
\bigl(13,550,h_{\rm Hg} + 998,h_{\rm água} + 891,h_{\rm óleo}\bigr)
\right].
}
]
\left[
\frac{242,000 - 101,330}{9{,}807}
;-;
\bigl(13,550,h_{\rm Hg} + 998,h_{\rm água} + 891,h_{\rm óleo}\bigr)
\right].
}
]
Resposta
A densidade relativa do fluido X em função das alturas das camadas é
[
\displaystyle
\frac{\rho_X}{\rho_{\rm água}}
\frac{1}{998,h_X}
\Biggl[
\frac{242,000 - 101,330}{9{,}807}
;-;
\bigl(13,550,h_{\rm Hg} + 998,h_{\rm água} + 891,h_{\rm óleo}\bigr)
\Biggr].
]
\Biggl[
\frac{242,000 - 101,330}{9{,}807}
;-;
\bigl(13,550,h_{\rm Hg} + 998,h_{\rm água} + 891,h_{\rm óleo}\bigr)
\Biggr].
]