Considere um cubo de alumínio (
) e
) de 5 cm por 5 cm por 5 cm , que está inicialmente a
. Em
, duas das faces são mantidas isoladas, duas são sujeitas a um aquecimento uniforme a uma razão
, e as outras dissipam calor por convecção para o ambiente a
com um coeficiente de calor
. Desenvolva a expressão da temperatura
do bloco de alumínio em função do tempo. Calcule a temperatura de equilíbrio do bloco em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá. O problema é de um cubo de alumínio de 5 cm de aresta. A densidade é ρ=2700 kg/m³, Cp=0,896 kJ/(kg·°C) e condutividade térmica k=204 W/(m·°C). Inicialmente o bloco está a Ti=20 °C. A partir de t>0, duas faces recebem um fluxo de calor uniforme q₀ W/m², duas faces são isoladas e as outras duas perdem calor por convecção com h=50 W/(m²·°C) para o ambiente a T∞=20 °C.
Conteúdo: Método de capacitância (lumped capacitance) para transientes de convecção. Vamos verificar que dá pra tratar todo o cubo como um único volume de temperatura uniforme e então montar um balanço de energia .
Conteúdo: Método de capacitância (lumped capacitance) para transientes de convecção. Vamos verificar que dá pra tratar todo o cubo como um único volume de temperatura uniforme e então montar um balanço de energia
Passo 2
Primeiro, checar se o modelo lumped vale (Biot pequeno).
- Volume do cubo:
- Área total das 6 faces:
- Comprimento característico
- Número de Biot:
Como Bi≪0,1, podemos usar o método lumped: a temperatura no cubo é uniforme e só varia no tempo.
Passo 3
Vamos montar o balanço de energia:
massa
Capacidade térmica total
– Potência de entrada (duas faces com fluxo q₀):
massa
Capacidade térmica total
– Potência de entrada (duas faces com fluxo q₀):
Para q₀=10000 W/m²,
– Potência de saída por convecção (duas faces):
– Potência de saída por convecção (duas faces):
O balanço é
Colocando tudo em ordem:
Passo 4
Essa equação é do tipo
, onde
A solução geral para um degrau de calor é
onde
Simplificando:
Resposta
Expressão da temperatura no tempo:
Temperatura de equilíbrio (t→∞):