Considere um cubo de alumínio ( rho=2700 kg / m^3, Cp=0,896 kJ /(kg ^circ C ) e k=204 W /(m ^circ C) ) de 5 cm por 5 cm por 5 cm , que está inicialmente a Ti=20^circ C. Em t>0, duas das faces são mantidas isoladas, duas são sujeitas a um aquecimento uniforme a uma razão q0 W / m^2, e as outras dissipam calor por convecção para o ambiente a T infty=20^circ C com um coeficiente de calor h=50 W /(m^2 ^circ C). Desenvolva a expressão da temperatura T(t) do bloco de alumínio em função do tempo. Calcule a temperatura de equilíbrio do bloco em q0=10000 W / m^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O problema é de um cubo de alumínio de 5 cm de aresta. A densidade é ρ=2700 kg/m³, Cp=0,896 kJ/(kg·°C) e condutividade térmica k=204 W/(m·°C). Inicialmente o bloco está a Ti=20 °C. A partir de t>0, duas faces recebem um fluxo de calor uniforme q₀ W/m², duas faces são isoladas e as outras duas perdem calor por convecção com h=50 W/(m²·°C) para o ambiente a T∞=20 °C.
Conteúdo: Método de capacitância (lumped capacitance) para transientes de convecção. Vamos verificar que dá pra tratar todo o cubo como um único volume de temperatura uniforme e então montar um balanço de energia .

Passo 2

Primeiro, checar se o modelo lumped vale (Biot pequeno).
  • Volume do cubo:
V=L^3=(0,05)^3=1,25times10^-4,m^3
  • Área total das 6 faces:
Arm tot=6,(0,05)^2=6cdot0,0025=0,015,m^2
  • Comprimento característico Bi=h,Lck=50cdot8,33times10^-3204approx2,0times10^-3ll0,1
  • Número de Biot:
Como Bi≪0,1, podemos usar o método lumped: a temperatura no cubo é uniforme e só varia no tempo.

Passo 3

Vamos montar o balanço de energia:
massa Arm quentes=2,(0,05)^2=2cdot0,0025=0,005,m^2, Qrm in=q0,Arm quentes
Capacidade térmica total Arm conv=0,005,m^2, Qrm out=h,Arm conv,l(T(t)-Tinftyr) =50cdot0,005,(T-20)=0,25,(T-20),W
– Potência de entrada (duas faces com fluxo q₀):
mCp,dTdt =Qrm in-Qrm out =50-0,25,(T-20)
Para q₀=10000 W/m², dTdt +0,25302,4,T =50+0,25cdot20302,4 =55302,4
– Potência de saída por convecção (duas faces):
O balanço é
Colocando tudo em ordem:

Passo 4

Essa equação é do tipo tau=mCphArm conv =302,40,25approx1209,6,s , onde
T(t)=Tinfty+l(Ti-Tinfty-De
A solução geral para um degrau de calor é
T(t)=20+(200)l(1-e^-t/1209,6r)
onde
Simplificando:

Resposta

Expressão da temperatura no tempo:
boxedT(t)=20+200l(1-e^-t/1209,6r)l[°Cr]
Temperatura de equilíbrio (t→∞):
Trm eq=20+200=220,°C

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