Para que valor de Q os polos da função de transferência biquadrática abaixo coincidem? Quais são as resultantes frequências dos polos?
H(s)=\frac{\alpha s^{2}+\beta s+\gamma}{s^{2}+\frac{\omega_{n}}{Q} s+\omega_{n}^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência biquadrática
H(s)=\frac{\alpha s^{2}+\beta s+\gamma}{s^{2}+\frac{\omega_{n}}{Q}s+\omega_{n}^{2}}
e pede duas coisas:
  1. Para que valor de Q os polos da função coincidem (isto é, tornam-se iguais)?
  2. Quais são as frequências/resultantes desses polos quando isso acontece?
Informações relevantes dadas: o polinômio denominador é \,s^{2}+\dfrac{\omega_{n}}{Q}s+\omega_{n}^{2}\, e \omega_{n} é a frequência natural (assumimos \omega_{n}\neq 0). Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Primeiro lembrete básico: os polos da função são as raízes do denominador. Para uma equação quadrática padrão \,a s^{2}+b s+c=0\,, as raízes são dadas por
s=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui temos a=1, b=\dfrac{\omega_{n}}{Q} e c=\omega_{n}^{2}. Vou escrever explicitamente as raízes do denominador usando esses coeficientes:
s=\frac{-\dfrac{\omega_{n}}{Q}\pm\sqrt{\left(\dfrac{\omega_{n}}{Q}\right)^{2}-4\omega_{n}^{2}}}{2}.

Passo 3

Explicação do critério de coincidência: duas raízes de uma quadrática coincidem quando o discriminante é zero, ou seja quando
\Delta = b^{2}-4ac = 0.
Aplicando aos nossos coeficientes:
\left(\dfrac{\omega_{n}}{Q}\right)^{2}-4\omega_{n}^{2}=0.
Agora resolvo passo a passo essa equação para Q. Primeiro fatoro \omega_{n}^{2} (posso dividir por \omega_{n}^{2} porque \omega_{n}\neq 0):
\omega_{n}^{2}\!\left(\dfrac{1}{Q^{2}}-4\right)=0 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{1}{Q^{2}}-4=0.
Assim
\dfrac{1}{Q^{2}}=4 \quad\Rightarrow\quad Q^{2}=\dfrac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad Q=\pm\dfrac{1}{2}.
Comentário físico e de prova: em sistemas reais de segunda ordem geralmente consideramos Q>0 (fator de qualidade positivo). Portanto, o valor fisicamente relevante é
Q=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Agora encontro a posição (frequência) dos polos quando Q=\dfrac{1}{2}. Quando o discriminante é zero, as duas raízes coincidem e a raiz comum vale
s=-\frac{b}{2a}.
Substituindo b=\dfrac{\omega_{n}}{Q} e a=1 obtemos a expressão geral
s=-\frac{\omega_{n}}{2Q}.
Agora ponho Q=\dfrac{1}{2}:
s=-\frac{\omega_{n}}{2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)}=-\omega_{n}.
Portanto, para Q=\dfrac{1}{2} ambos os polos coincidem em s=-\omega_{n}. Isso é um polo real duplo (sem parte imaginária).

Passo 5

Para contextualizar e ajudar na prova: a forma geral das raízes (útil se o examinador pedir comportamento para outros Q) pode ser escrita destacando parte real e imaginária:
s=-\frac{\omega_{n}}{2Q}\pm j\,\omega_{n}\sqrt{1-\frac{1}{4Q^{2}}}.
Dessa forma vemos imediatamente:
  • Se Q>\tfrac{1}{2} a raiz quadrada é real positiva e aparece uma parte imaginária não nula: polos complexos conjugados com frequência amortecida \omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\tfrac{1}{4Q^{2}}}.
  • Se Q=\tfrac{1}{2} a parte imaginária zera e as duas raízes se juntam em s=-\omega_{n} (polo real duplo).
  • Se Q<\tfrac{1}{2} a quantidade dentro da raiz fica negativa e as duas raízes são reais distintas (ambas negativas).

Resposta

Q=\dfrac{1}{2}\n s=-\omega_{n} (polo real duplo)

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