Para que valor de Q os polos da função de transferência biquadrática abaixo coincidem? Quais são as resultantes frequências dos polos?
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência biquadrática
e pede duas coisas:
- Para que valor de
os polos da função coincidem (isto é, tornam-se iguais)? - Quais são as frequências/resultantes desses polos quando isso acontece?
Informações relevantes dadas: o polinômio denominador é
e
é a frequência natural (assumimos
). Não há outras informações adicionais.
Passo 2
Primeiro lembrete básico: os polos da função são as raízes do denominador. Para uma equação quadrática padrão
, as raízes são dadas por
Aqui temos
,
e
. Vou escrever explicitamente as raízes do denominador usando esses coeficientes:
Passo 3
Explicação do critério de coincidência: duas raízes de uma quadrática coincidem quando o discriminante é zero, ou seja quando
Aplicando aos nossos coeficientes:
Agora resolvo passo a passo essa equação para
. Primeiro fatoro
(posso dividir por
porque
):
Assim
Comentário físico e de prova: em sistemas reais de segunda ordem geralmente consideramos
(fator de qualidade positivo). Portanto, o valor fisicamente relevante é
Passo 4
Agora encontro a posição (frequência) dos polos quando
. Quando o discriminante é zero, as duas raízes coincidem e a raiz comum vale
Substituindo
e
obtemos a expressão geral
Agora ponho
:
Portanto, para
ambos os polos coincidem em
. Isso é um polo real duplo (sem parte imaginária).
Passo 5
Para contextualizar e ajudar na prova: a forma geral das raízes (útil se o examinador pedir comportamento para outros
) pode ser escrita destacando parte real e imaginária:
Dessa forma vemos imediatamente:
- Se
a raiz quadrada é real positiva e aparece uma parte imaginária não nula: polos complexos conjugados com frequência amortecida . - Se
a parte imaginária zera e as duas raízes se juntam em (polo real duplo). - Se
a quantidade dentro da raiz fica negativa e as duas raízes são reais distintas (ambas negativas).