Um motor síncrono de 208 V , com fator de potência unitário e ligado em Y , consome 50 A de um sistema de potência de 208 V . Nessas condições, a corrente de campo que está circulando é 2,7 \mathrm{~A}. Sua reatância síncrona é 1,6 \Omega. Assuma que a característica a vazio é linear.
a) Encontre \boldsymbol{V}_{\boldsymbol{\varphi}} e \boldsymbol{E}_{\boldsymbol{A}} nessas condições. (R.: V_{\varphi}=120 \angle 0^{\circ} \mathrm{V}, E_{A}=144 \angle- 33,7^{\circ} \mathrm{V} )
b) Qual o limite de potência de estabilidade estática nessas condições? (R.: P_{\text {max }}= 32,4 \mathrm{~kW} )
c) Quanta corrente de campo seria necessária para que o motor operasse com fator de potência 0,8 adiantado? (R.: I_{F}=3,7 \mathrm{~A} )

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
  • Dados fornecidos:
    • Tensão de linha do sistema: \,208\\ \mathrm{V}.
    • Ligação em Y (estrela).
    • Fator de potência (fp) inicial: unitário (ou seja, \cos\varphi=1).
    • Corrente de linha (corrente de armadura por fase, em Y): \,50\\ \mathrm{A}.
    • Corrente de campo (inicial): \,2{,}7\\ \mathrm{A}.
    • Reatância síncrona por fase: \,X_s=1{,}6\\ \Omega.
    • Característica a vazio linear (logo E_A é proporcional a I_F).
  • Pedidos:
    a) Encontrar \boldsymbol{V}_{\boldsymbol{\varphi}} (tensão de fase) e \boldsymbol{E}_{\boldsymbol{A}} (fem interna por fase) nas condições dadas.
    b) Determinar o limite de potência de estabilidade estática (ou seja, P_{\max} nesse ponto).
    c) Determinar quanta corrente de campo seria necessária para que o motor operasse com fator de potência \,0{,}8 adiantado (levando em conta a situação física do motor — ver passo explicativo).

Passo 2

Tensão de fase \,V_{\varphi} para ligação em Y.
Explicação didática rápida: em ligação em Y a tensão de fase (cada enrolamento) é a tensão de linha dividida por \sqrt{3}. Então:
V_{\varphi}=\frac{V_{\text{linha}}}{\sqrt{3}}.
Substituindo \,V_{\text{linha}}=208\\ \mathrm{V}:
V_{\varphi}=\frac{208}{\sqrt{3}}=120\\ \mathrm{V}.
Escolho a referência de fase para \,V_{\varphi} como ângulo 0^\circ, ou seja \,V_{\varphi}=120\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}. (Sempre podemos escolher uma referência angular conveniente.)

Passo 3

Corrente de armadura por fase \,I_a no caso inicial (fp =1).
Como a máquina está em Y, a corrente de linha é igual à corrente de fase. O enunciado dá \,50\\ \mathrm{A}. Com fator de potência unitário, a corrente está em fase com a tensão de fase (neno defasagem entre V_{\varphi} e I_a). Logo:
I_a = 50\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}.
(Explicação: fator de potência unitário significa que a componente reativa é zero; a corrente está alinhada com a tensão.)

Passo 4

Equivalente de fase e relação fasorial entre \,V_{\varphi}, \,E_A e \,I_a.
Didática: o circuito por fase tem a fem interna \,E_A em série com a reatância síncrona jX_s, e a tensão terminal é V_{\varphi}. A queda sobre a reatância é jX_s I_a. Tomando a convenção usual para motor (corrente entrando na máquina), a relação fasorial é
E_A = V_{\varphi} - j X_s I_a.
Explicação clara do sinal: estamos calculando a tensão interna necessária para equilibrar a tensão terminal mais a queda sobre a reatância, e como a corrente entra no enrolamento do motor a queda se subtrai (essa escolha de sinal é a que corresponde à situação dada e que nos leva ao resultado esperado). Esta é a fórmula que usaremos para calcular \,E_A.

Passo 5

Cálculo do termo jX_s I_a e de \,E_A para o caso inicial (fp =1).
Calculemos a queda reativa:
jX_s I_a = j\cdot 1{,}6 \cdot 50 = j\,80\\ \mathrm{V}.
Agora aplique a fórmula:
E_A = V_{\varphi} - jX_s I_a = 120\angle 0^\circ - j\,80.
Escrevendo em forma retangular:
E_A = 120 - j\,80.
Agora magnitude e ângulo (passo a passo):
|E_A|=\sqrt{120^2+(-80)^2}=\sqrt{14400+6400}=\sqrt{20800}=144{,}222\\ \mathrm{V}\approx 144\\ \mathrm{V},
\angle E_A = \arctan\!\left(\frac{-80}{120}\right) = -33{,}690^\circ\approx -33{,}7^\circ.
Portanto:
E_A \approx 144\angle -33{,}7^\circ\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Conclusão do item (a) — resumo dos resultados obtidos.
  • Tensão de fase (escolhida referência): \,V_{\varphi}=120\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Fem interna por fase nas condições dadas: \,E_A=144\angle -33{,}7^\circ\\ \mathrm{V}.
(Observação pedagógica: magnitude de E_A cresce com a corrente de campo I_F pela linearidade da característica a vazio; o ângulo negativo indica que a fem interna está atrasada em relação à tensão terminal nas condições de motor com essa corrente.)

Passo 7

Cálculo do limite de potência de estabilidade estática P_{\max} (item b).
Didática/formulação: para uma máquina síncrona trifásica o fluxo de potência elétrica entre E_A e V_{\varphi} por fase, aproximado pelo modelo indutivo, é
P_{\text{fase}}=\frac{V_{\varphi}\,E_A}{X_s}\sin\delta,
onde \delta é o ângulo entre \,E_A e \,V_{\varphi}. O máximo está quando \sin\delta=1, então o máximo por fase é \frac{V_{\varphi}E_A}{X_s}. Para a máquina trifásica multiplica-se por 3:
P_{\max} = 3\cdot\frac{V_{\varphi}\,|E_A|}{X_s}.
Substituindo números (usar magnitudes):
P_{\max}=3\cdot\frac{120\cdot 144}{1{,}6}.
Calcule:
\frac{120\cdot144}{1{,}6}=\frac{17280}{1{,}6}=10800\\ \mathrm{W\\ (por\\ fase)},
P_{\max}=3\cdot 10800 = 32400\\ \mathrm{W}=32{,}4\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Interpretação e método para o item (c): como interpretamos o pedido e por que.
O enunciado pede a corrente de campo necessária para que o motor opere com fator de potência \,0{,}8 adiantado. Isso é ambíguo se não dissermos o que se mantém fixo — normalmente, em problemas reais, a carga mecânica (potência ativa entregue pelo motor) permanece a mesma, e o que muda é o fator de potência (p.ex. por ajuste do campo), o que gera mudança na corrente de armadura. Portanto vamos assumir que a potência ativa consumida pelo motor continua sendo a mesma que na condição inicial (caso contrário não haveria um único valor de I_F). Vou explicar e aplicar esse raciocínio.

Passo 9

Calcular a nova corrente de armadura necessária para fp =0{,}8 adiantado, mantendo a mesma potência ativa.
Primeiro calcule a potência ativa inicial (fp =1):
P_{\text{inicial}}=3\cdot V_{\varphi}\cdot I_a\cdot\cos\varphi = 3\cdot 120\cdot 50\cdot 1 = 18000\\ \mathrm{W}=18\\ \mathrm{kW}.
Para fp nova \cos\varphi'=0{,}8 e mantendo P=18\\ \mathrm{kW}, a nova magnitude de corrente por fase I_a' satisfaz
P = 3\cdot V_{\varphi}\cdot I_a'\cdot 0{,}8.
Logo
I_a'=\frac{P}{3 V_{\varphi}\cdot 0{,}8}=\frac{18000}{3\cdot 120\cdot 0{,}8}=\frac{18000}{288}=62{,}5\\ \mathrm{A}.
O ângulo entre I_a' e V_{\varphi} é \varphi'=\operatorname{arccos}(0{,}8)=36{,}87^\circ. Como é adiantado, a corrente antecipa a tensão, então tomamos:
I_a' = 62{,}5\angle +36{,}87^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 10

Calcular \,E_A' correspondente a essa nova corrente e então usar a linearidade E_A\propto I_F para obter a nova corrente de campo (item c).
Primeiro a queda jX_s I_a':
jX_s I_a' = j\cdot 1{,}6 \cdot 62{,}5\angle 36{,}87^\circ = 100\angle (36{,}87^\circ + 90^\circ)=100\angle 126{,}87^\circ\\ \mathrm{V}.
Converter para retangular (usando \cos 126{,}87^\circ=-0{,}6 e \sin 126{,}87^\circ=0{,}8):
jX_s I_a' = 100(\,-0{,}6 + j\,0{,}8\,) = -60 + j\,80\\ \mathrm{V}.
Agora aplicamos E_A' = V_{\varphi} - jX_s I_a':
E_A' = 120\angle 0^\circ - (-60 + j\,80) = 120 +60 - j\,80 = 180 - j\,80.
Magnitude de E_A':
|E_A'|=\sqrt{180^2 + (-80)^2}=\sqrt{32400+6400}=\sqrt{38800}=197{,}0\\ \mathrm{V}.
Como a característica a vazio é linear ( E_A proporcional a I_F), usamos a proporcionalidade com os valores iniciais conhecidos:
\frac{I_F'}{I_F^{(0)}}=\frac{|E_A'|}{|E_A^{(0)}|}.
Substituindo I_F^{(0)}=2{,}7\\ \mathrm{A} e |E_A^{(0)}|=144\\ \mathrm{V}:
I_F' = 2{,}7 \cdot \frac{197{,}0}{144} = 2{,}7 \cdot 1{,}368 = 3{,}69\\ \mathrm{A}\approx 3{,}7\\ \mathrm{A}.

Resposta

(a) V_{\varphi}=120\angle 0^\circ\\ \mathrm{V},\quad E_{A}=144\angle -33{,}7^\circ\\ \mathrm{V}
(b) P_{\max}=32{,}4\\ \mathrm{kW}
(c) I_{F}\approx 3{,}7\\ \mathrm{A}

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