Para a equação abaixo.
|H(j \omega)|^{2}=\frac{\gamma^{2}}{\left(\omega_{n}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\left(\frac{\omega_{n}}{Q} \omega\right)^{2}}
a. Prove que a expressão não apresenta um pico (máximo local) se Q \leq \sqrt{2} / 2.
b. Prove que, se Q>\sqrt{2} / 2 a resposta alcança um pico normalizado igual a Q / \sqrt{1-\left(4 Q^{2}\right)^{-1}}.

Passo 1

O enunciado fornece a função de frequência (magnitude ao quadrado)
|H(j\omega)|^{2}=\frac{\gamma^{2}}{\left(\omega_{n}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\left(\frac{\omega_{n}}{Q}\,\omega\right)^{2}}
e pede duas coisas:
  1. Mostrar que a expressão não apresenta pico (máximo local com \omega>0) se Q \leq \sqrt{2}/2.
  2. Mostrar que, se Q>\sqrt{2}/2, a resposta atinge um pico normalizado igual a \dfrac{Q}{\sqrt{1-(4Q^{2})^{-1}}}.
Informações relevantes que o enunciado dá (que usaremos):
  • \gamma, \omega_{n} e Q são constantes positivas.
  • A variável é \omega\ge 0 (frequência angular real não negativa).
  • Vamos considerar pico como um máximo local em \omega>0.
    A resolução começará a seguir.

Passo 2

Estratégia matemática básica (explicando o método): para encontrar picos (máximos locais) de uma função suavemente dependente de \omega procuramos pontos críticos onde a derivada em relação a \omega é zero; em seguida verificamos a natureza (máx/min) por análise de sinal ou segunda derivada. Aqui é conveniente trabalhar com o denominador da fração, porque o numerador \gamma^{2} é constante positiva.
Definimos o denominador
D(\omega)=\left(\omega_{n}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\left(\frac{\omega_{n}}{Q}\omega\right)^{2}.
Como
|H(j\omega)|^{2}=\frac{\gamma^{2}}{D(\omega)},
a derivada é (uso da regra da cadeia e da derivada de 1/D):
\frac{d}{d\omega}|H(j\omega)|^{2}=-\gamma^{2}\frac{D'(\omega)}{D(\omega)^{2}}.
Portanto pontos críticos (possíveis picos) ocorrem quando D'(\omega)=0 (e \omega>0).

Passo 3

Calcular D'(\omega) passo a passo. Primeiro simplifico D escrevendo A(\omega)=\omega_{n}^{2}-\omega^{2}. Então
D(\omega)=A(\omega)^{2}+\frac{\omega_{n}^{2}\,\omega^{2}}{Q^{2}}.
Derivo termo a termo:
  • \dfrac{d}{d\omega}A(\omega)^{2}=2A(\omega)\,A'(\omega)=2(\omega_{n}^{2}-\omega^{2})(-2\omega)=-4\omega(\omega_{n}^{2}-\omega^{2}).
  • \dfrac{d}{d\omega}\left(\dfrac{\omega_{n}^{2}\,\omega^{2}}{Q^{2}}\right)=\dfrac{\omega_{n}^{2}}{Q^{2}}\cdot 2\omega=\dfrac{2\omega\omega_{n}^{2}}{Q^{2}}.
Somando,
D'(\omega)=-4\omega(\omega_{n}^{2}-\omega^{2})+\frac{2\omega\omega_{n}^{2}}{Q^{2}}.
Fatorando 2\omega (e lembrando que para \omega>0 podemos dividir por \omega sem problemas):
D'(\omega)=2\omega\Big(-2(\omega_{n}^{2}-\omega^{2})+\frac{\omega_{n}^{2}}{Q^{2}}\Big).
Pontos críticos com \omega>0 satisfazem
-2(\omega_{n}^{2}-\omega^{2})+\frac{\omega_{n}^{2}}{Q^{2}}=0.
Resolvo essa equação para \omega^{2}:
-2\omega_{n}^{2}+2\omega^{2}+\frac{\omega_{n}^{2}}{Q^{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad 2\omega^{2}=\omega_{n}^{2}\Big(2-\frac{1}{Q^{2}}\Big).
Portanto
\omega^{2}=\omega_{n}^{2}\Big(1-\frac{1}{2Q^{2}}\Big).

Passo 4

Condição de existência do ponto crítico com \omega^{2}>0: precisamos que
1-\frac{1}{2Q^{2}}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{2Q^{2}}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad Q^{2}>\frac{1}{2},
ou seja
Q>\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Logo, se Q\le \dfrac{\sqrt{2}}{2} não existe solução positiva para \omega^{2}, e consequentemente não há ponto crítico com \omega>0. Isso prova a parte (a): não há pico para Q\le \sqrt{2}/2.

Passo 5

Agora suponha Q>\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Então existe um único ponto crítico positivo dado por
\omega_{p}^{2}=\omega_{n}^{2}\Big(1-\frac{1}{2Q^{2}}\Big).
Vou mostrar que esse ponto é um máximo e calcular o valor do pico. Primeiro a natureza do ponto: observe o sinal de D'(\omega) para \omega pequeno e para \omega logo maior que \omega_{p}. Para 0<\omega\ll\omega_{n} o fator entre parênteses vale aproximadamente -2\omega_{n}^{2}+\omega_{n}^{2}/Q^{2}=\omega_{n}^{2}\big(\tfrac{1}{Q^{2}}-2\big). Como Q>\dfrac{1}{\sqrt{2}} implica \tfrac{1}{Q^{2}}<2, esse termo é negativo, logo D'(\omega)<0 para \omega pequeno positivo; isso faz com que \dfrac{d}{d\omega}|H(j\omega)|^{2}=-\gamma^{2}D'/D^{2} seja positivo inicialmente (função crescendo). Para \omega>\omega_{p} o sinal do parênteses troca e D'(\omega)>0, fazendo |H|^{2} decrescer. Portanto o ponto crítico é um máximo local. (Também se pode notar que |H|^{2}\to 0 quando \omega\to\infty, então esse ponto crítico único positivo é o pico global em \omega>0.)

Passo 6

Calcular o valor do pico: substituímos \omega_{p}^{2}=\omega_{n}^{2}\big(1-\dfrac{1}{2Q^{2}}\big) no denominador D(\omega). Primeiro calcule
\omega_{n}^{2}-\omega_{p}^{2}=\omega_{n}^{2}\Big(\frac{1}{2Q^{2}}\Big).
Agora
D(\omega_{p})=\big(\omega_{n}^{2}-\omega_{p}^{2}\big)^{2}+\frac{\omega_{n}^{2}\omega_{p}^{2}}{Q^{2}} = \omega_{n}^{4}\Big(\frac{1}{4Q^{4}}\Big)+\frac{\omega_{n}^{4}}{Q^{2}}\Big(1-\frac{1}{2Q^{2}}\Big).
Coloco em comum fator \omega_{n}^{4}:
D(\omega_{p})=\omega_{n}^{4}\Big(\frac{1}{4Q^{4}}+\frac{1}{Q^{2}}-\frac{1}{2Q^{4}}\Big) =\omega_{n}^{4}\Big(\frac{1}{Q^{2}}-\frac{1}{4Q^{4}}\Big).
Coloco sobre denominador comum:
D(\omega_{p})=\omega_{n}^{4}\frac{4Q^{2}-1}{4Q^{4}}.
Portanto
|H(j\omega_{p})|^{2}=\frac{\gamma^{2}}{D(\omega_{p})} =\frac{\gamma^{2}}{\omega_{n}^{4}}\cdot\frac{4Q^{4}}{4Q^{2}-1}.
Tirando a raiz para obter |H(j\omega_{p})|:
|H(j\omega_{p})|=\frac{\gamma}{\omega_{n}^{2}}\cdot\frac{2Q^{2}}{\sqrt{4Q^{2}-1}}.

Passo 7

Agora normalizo o pico em relação ao valor em \omega=0. Calculo |H(j0)|:
|H(j0)|^{2}=\frac{\gamma^{2}}{\omega_{n}^{4}} \quad\Rightarrow\quad |H(j0)|=\frac{\gamma}{\omega_{n}^{2}}.
A razão (pico normalizado) é então
\frac{|H(j\omega_{p})|}{|H(j0)|}=\frac{\dfrac{\gamma}{\omega_{n}^{2}}\cdot\dfrac{2Q^{2}}{\sqrt{4Q^{2}-1}}}{\dfrac{\gamma}{\omega_{n}^{2}}} =\frac{2Q^{2}}{\sqrt{4Q^{2}-1}}.
Simplifico esta expressão dividindo numerador e denominador por 2Q:
\frac{2Q^{2}}{\sqrt{4Q^{2}-1}}=\frac{Q}{\sqrt{1-\dfrac{1}{4Q^{2}}}} =\frac{Q}{\sqrt{1-(4Q^{2})^{-1}}}.
Isso coincide exatamente com a expressão pedida. Concluímos a parte (b).

Resposta

(a) Não há pico (máximo local com \omega>0) se Q \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
(b) Se Q>\dfrac{\sqrt{2}}{2} o pico normalizado é \dfrac{Q}{\sqrt{1-(4Q^{2})^{-1}}}.

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