Para a equação abaixo.
a. Prove que a expressão não apresenta um pico (máximo local) se
.
b. Prove que, se
a resposta alcança um pico normalizado igual a
.
b. Prove que, se
Passo 1
O enunciado fornece a função de frequência (magnitude ao quadrado)
e pede duas coisas:
- Mostrar que a expressão não apresenta pico (máximo local com
) se . - Mostrar que, se
, a resposta atinge um pico normalizado igual a .
Informações relevantes que o enunciado dá (que usaremos):
-
, e são constantes positivas. - A variável é
(frequência angular real não negativa). - Vamos considerar pico como um máximo local em
.
A resolução começará a seguir.
Passo 2
Estratégia matemática básica (explicando o método): para encontrar picos (máximos locais) de uma função suavemente dependente de
procuramos pontos críticos onde a derivada em relação a
é zero; em seguida verificamos a natureza (máx/min) por análise de sinal ou segunda derivada. Aqui é conveniente trabalhar com o denominador da fração, porque o numerador
é constante positiva.
Definimos o denominador
Como
a derivada é (uso da regra da cadeia e da derivada de
):
Portanto pontos críticos (possíveis picos) ocorrem quando
(e
).
Passo 3
Calcular
passo a passo. Primeiro simplifico
escrevendo
. Então
Derivo termo a termo:
-
. -
.
Somando,
Fatorando
(e lembrando que para
podemos dividir por
sem problemas):
Pontos críticos com
satisfazem
Resolvo essa equação para
:
Portanto
Passo 4
Condição de existência do ponto crítico com
: precisamos que
ou seja
Logo, se
não existe solução positiva para
, e consequentemente não há ponto crítico com
. Isso prova a parte (a): não há pico para
.
Passo 5
Agora suponha
. Então existe um único ponto crítico positivo dado por
Vou mostrar que esse ponto é um máximo e calcular o valor do pico. Primeiro a natureza do ponto: observe o sinal de
para
pequeno e para
logo maior que
. Para
o fator entre parênteses vale aproximadamente
. Como
implica
, esse termo é negativo, logo
para
pequeno positivo; isso faz com que
seja positivo inicialmente (função crescendo). Para
o sinal do parênteses troca e
, fazendo
decrescer. Portanto o ponto crítico é um máximo local. (Também se pode notar que
quando
, então esse ponto crítico único positivo é o pico global em
.)
Passo 6
Calcular o valor do pico: substituímos
no denominador
. Primeiro calcule
Agora
Coloco em comum fator
:
Coloco sobre denominador comum:
Portanto
Tirando a raiz para obter
:
Passo 7
Agora normalizo o pico em relação ao valor em
. Calculo
:
A razão (pico normalizado) é então
Simplifico esta expressão dividindo numerador e denominador por
:
Isso coincide exatamente com a expressão pedida. Concluímos a parte (b).
Resposta
(a) Não há pico (máximo local com
) se
.
(b) Se o pico normalizado é
.
(b) Se