(Valor 3.0) Para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v}, temos que \vec{u} \| \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}=\lambda \vec{v} ou \vec{v}=\mu \vec{u}, em que \lambda e \mu são números reais.

Passo 1

O enunciado pede para provar a seguinte equivalência em geometria vetorial: dado quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v},
\vec{u}\parallel\vec{v} \;\Longleftrightarrow\; \vec{u} = \lambda\,\vec{v} \quad\text{ou}\quad \vec{v} = \mu\,\vec{u},
em que \lambda e \mu são escalares reais. O conteúdo principal é a definição de vetores paralelos (colineares) e a ideia de dependência linear em \mathbb{R}^n.

Passo 2

Provar que \vec{u}\parallel\vec{v} implica que um é múltiplo escalar do outro.
— Se \vec{v}=\vec{0} então basta tomar \lambda=0 e obter \vec{u}=0\cdot\vec{v}. Analogamente, se \vec{u}=\vec{0} então \vec{v}=0\cdot\vec{u}.
— Se ambos são não nulos e paralelos, eles têm mesma direção ou direção oposta. Isso significa que o cosseno do ângulo entre eles é \pm1. Em particular,
\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} = \pm \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|},
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\vec{u} = \Bigl(\pm\frac{\|\vec{u}\|}{\|\vec{v}\|}\Bigr)\,\vec{v}.
Definindo \lambda = \pm\|\vec{u}\|/\|\vec{v}\|, temos \vec{u}=\lambda\,\vec{v}.

Passo 3

Provar o recíproco: se existe \lambda\in\mathbb{R} tal que \vec{u}=\lambda\,\vec{v}, então \vec{u}\parallel\vec{v}.
— A relação \vec{u}=\lambda\,\vec{v} diz exatamente que \vec{u} está sobre a reta determinada por \vec{v} (ou passa pela origem na direção de \vec{v}). Essa condição é a definição de vetores colineares, portanto paralelos.

Resposta

Mostramos que \vec{u}\parallel\vec{v} implica \vec{u}=\lambda\,\vec{v} (ou vice-versa) e que essa condição de múltiplo escalar é necessária e suficiente para a paralelismo. Consequentemente,
\vec{u}\parallel\vec{v} \;\Longleftrightarrow\; \vec{u}=\lambda\,\vec{v} \quad\text{ou}\quad \vec{v}=\mu\,\vec{u},
com \lambda,\mu\in\mathbb{R}.

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