(Valor 3.0) Para quaisquer vetores
e
, temos que
ou
, em que
e
são números reais.
Passo 1
O enunciado pede para provar a seguinte equivalência em geometria vetorial: dado quaisquer vetores
e
,
em que
e
são escalares reais. O conteúdo principal é a definição de vetores paralelos (colineares) e a ideia de dependência linear em
.
Passo 2
Provar que
implica que um é múltiplo escalar do outro.
— Se então basta tomar
e obter
. Analogamente, se
então
.
— Se ambos são não nulos e paralelos, eles têm mesma direção ou direção oposta. Isso significa que o cosseno do ângulo entre eles é . Em particular,
— Se
— Se ambos são não nulos e paralelos, eles têm mesma direção ou direção oposta. Isso significa que o cosseno do ângulo entre eles é
logo
Definindo
, temos
.
Passo 3
Provar o recíproco: se existe
tal que
, então
.
— A relação diz exatamente que
está sobre a reta determinada por
(ou passa pela origem na direção de
). Essa condição é a definição de vetores colineares, portanto paralelos.
— A relação
Resposta
Mostramos que
implica
(ou vice-versa) e que essa condição de múltiplo escalar é necessária e suficiente para a paralelismo. Consequentemente,
com
.