Qual o valor de sen
(
π
4
) ?
(a)
π
3
(b) 1
(c)

2
2
(d) π

Passo 1

O enunciado pergunta claramente: “Qual o valor de \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)?” e dá quatro alternativas:
(a) \dfrac{\pi}{3}
(b) 1
(c) \dfrac{\sqrt{2}}{2}
(d) \pi
Estas são todas as informações que temos do enunciado. Não vamos resolver ainda — só listar o que foi pedido e as opções.

Passo 2

Primeiro passo técnico: entender o ângulo \dfrac{\pi}{4}. Lembre-se da relação entre radianos e graus:
\pi\\ \text{rad} = 180^\circ.
Logo
\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{180^\circ}{4} = 45^\circ.
Ou seja, \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) é o seno do ângulo de 45^\circ.

Passo 3

Agora uma forma muito prática de achar \operatorname{sen}(45^\circ) é usar o triângulo retângulo isósceles (ângulo 45^\circ, 45^\circ, 90^\circ). Considere um triângulo retângulo cujos catetos tenham comprimento \;1\; (fazendo assim a conta ficar simples). Desenho mental: dois catetos iguais e a hipotenusa oposta ao ângulo reto.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Pitágoras para achar a hipotenusa h:
h = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
No triângulo, para o ângulo de 45^\circ (ou \dfrac{\pi}{4}), o cateto oposto vale \;1\; e a hipotenusa vale \;\sqrt{2}\;.

Passo 5

Definição de seno em triângulo retângulo: para um ângulo \theta,
\operatorname{sen}(\theta) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}.
Aplicando ao nosso caso:
\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 6

Normalmente escrevemos o resultado sem raiz no denominador. Racionalizando:
\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto
\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 7

Confirmação alternativa (curto): no círculo trigonométrico (raio 1), o ponto correspondente a \dfrac{\pi}{4} tem coordenadas \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right). O seno é a coordenada y, que é \dfrac{\sqrt{2}}{2}. Isso bate com o triângulo.

Passo 8

Comparando com as alternativas fornecidas, o valor que coincide é a alternativa (c): \dfrac{\sqrt{2}}{2}. Vai dar tudo certo na prova — respira, você já fez o essencial!

Resposta

(c) \dfrac{\sqrt{2}}{2}

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