Para que valores de \alpha e \beta a transformação
Q=q^{\alpha} \cos \beta q \quad, \quad P=q^{\alpha} \operatorname{sen} \beta q
é canônica?

Passo 1

O enunciado dá a transformação entre coordenadas antigas (q,p) e novas (Q,P) pelas fórmulas
Q = q^{\alpha}\cos\bigl(\beta p\bigr),
P = q^{\alpha}\sin\bigl(\beta p\bigr).
A pergunta é: para quais valores de \alpha e \beta essa transformação é canônica?
Observações das informações dadas:
  • As fórmulas foram dadas explicitamente para Q e P em função de q e p.
  • Os parâmetros desconhecidos são \alpha e \beta.
  • Queremos garantir que a transformação preserve a estrutura canônica (isto é, que seja canônica) para todos os pontos (ou numa vizinhança) onde as expressões fazem sentido.

Passo 2

Condição prática usada para verificar se uma transformação (q,p)\mapsto(Q,P) em uma dimensão é canônica:
A transformação é canônica se e somente se o colchete de Poisson entre Q e P (calculado nas coordenadas antigas (q,p)) for igual a 1. Isto é,
\{Q,P\}_{q,p}=1.
Explicando o que é o colchete de Poisson em 1D (sem jargão): dado duas funções A(q,p) e B(q,p), o colchete de Poisson é
\{A,B\}_{q,p}=\frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p}-\frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial q}.
Aqui vamos aplicar essa fórmula com A=Q e B=P. A ideia é calcular as derivadas parciais de Q e P em relação a q e p, montar o colchete e exigir que resulte em 1.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias usando regras de potência e regra da cadeia (vou mostrar passo a passo):
Derivadas de Q(q,p)=q^{\alpha}\cos(\beta p):
  • Derivada parcial em relação a q:
\frac{\partial Q}{\partial q}=\alpha q^{\alpha-1}\cos(\beta p).
(Usamos que \dfrac{d}{dq}q^{\alpha}=\alpha q^{\alpha-1} e \cos(\beta p) é tratada como constante quando derivamos em q.)
  • Derivada parcial em relação a p:
\frac{\partial Q}{\partial p}=q^{\alpha}\cdot\frac{d}{dp}\bigl(\cos(\beta p)\bigr)=q^{\alpha}\cdot(-\sin(\beta p))\cdot\beta = -\beta q^{\alpha}\sin(\beta p).
(Usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dp}\cos(\beta p)=-\sin(\beta p)\cdot\beta.)
Derivadas de P(q,p)=q^{\alpha}\sin(\beta p):
  • Derivada parcial em relação a q:
\frac{\partial P}{\partial q}=\alpha q^{\alpha-1}\sin(\beta p).
  • Derivada parcial em relação a p:
\frac{\partial P}{\partial p}=q^{\alpha}\cdot\frac{d}{dp}\bigl(\sin(\beta p)\bigr)=q^{\alpha}\cdot\cos(\beta p)\cdot\beta = \beta q^{\alpha}\cos(\beta p).

Passo 4

Agora montamos o colchete de Poisson usando as derivadas encontradas:
\{Q,P\}=\frac{\partial Q}{\partial q}\frac{\partial P}{\partial p}-\frac{\partial Q}{\partial p}\frac{\partial P}{\partial q}.
Substituindo:
\{Q,P\}=\bigl(\alpha q^{\alpha-1}\cos(\beta p)\bigr)\cdot\bigl(\beta q^{\alpha}\cos(\beta p)\bigr) - \bigl(-\beta q^{\alpha}\sin(\beta p)\bigr)\cdot\bigl(\alpha q^{\alpha-1}\sin(\beta p)\bigr).
Fatorando \alpha\beta q^{\alpha-1}q^{\alpha}=\alpha\beta q^{2\alpha-1} e usando \cos^2+\sin^2=1, obtemos
\{Q,P\}=\alpha\beta q^{2\alpha-1}\bigl(\cos^2(\beta p)+\sin^2(\beta p)\bigr)=\alpha\beta q^{2\alpha-1}.
Para que a transformação seja canônica devemos ter \{Q,P\}=1 para todos os pontos considerados, isto é
\alpha\beta q^{2\alpha-1}=1\quad\text{para todos }q\text{ na região de interesse.}ã
Para que isso seja verdade para todos os q (variando), o fator que envolve q deve ser independente de q. Assim precisamos que o expoente de q seja zero:
2\alpha-1=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha=\tfrac{1}{2}.
Com \alpha=\tfrac{1}{2} a condição fica
\alpha\beta q^{0}=\alpha\beta=1 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{2}\beta=1 \quad\Rightarrow\quad \beta=2.
Observação sobre domínio: como usamos q^{\alpha} com \alpha=\tfrac{1}{2}, normalmente pedimos q>0 para ter raízes reais bem definidas; em problemas de mecânica isso é a condição natural se q representa uma coordenada que deve ficar positiva. Se for necessário permitir q<0 teria que tratar sinais/ramificações — aqui a solução principal é \alpha=\tfrac{1}{2},\beta=2.

Resposta

\alpha=\tfrac{1}{2}
\beta=2

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