Para que valores de
e
a transformação
é canônica?
Passo 1
O enunciado dá a transformação entre coordenadas antigas
e novas
pelas fórmulas
A pergunta é: para quais valores de
e
essa transformação é canônica?
Observações das informações dadas:
- As fórmulas foram dadas explicitamente para
e em função de e . - Os parâmetros desconhecidos são
e . - Queremos garantir que a transformação preserve a estrutura canônica (isto é, que seja canônica) para todos os pontos (ou numa vizinhança) onde as expressões fazem sentido.
Passo 2
Condição prática usada para verificar se uma transformação
em uma dimensão é canônica:
A transformação é canônica se e somente se o colchete de Poisson entre
e
(calculado nas coordenadas antigas
) for igual a
. Isto é,
Explicando o que é o colchete de Poisson em 1D (sem jargão): dado duas funções
e
, o colchete de Poisson é
Aqui vamos aplicar essa fórmula com
e
. A ideia é calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
, montar o colchete e exigir que resulte em
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias usando regras de potência e regra da cadeia (vou mostrar passo a passo):
Derivadas de
:
- Derivada parcial em relação a
:
(Usamos que
e
é tratada como constante quando derivamos em
.)
- Derivada parcial em relação a
:
(Usamos a regra da cadeia:
.)
Derivadas de
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora montamos o colchete de Poisson usando as derivadas encontradas:
Substituindo:
Fatorando
e usando
, obtemos
Para que a transformação seja canônica devemos ter
para todos os pontos considerados, isto é
Para que isso seja verdade para todos os
(variando), o fator que envolve
deve ser independente de
. Assim precisamos que o expoente de
seja zero:
Com
a condição fica
Observação sobre domínio: como usamos
com
, normalmente pedimos
para ter raízes reais bem definidas; em problemas de mecânica isso é a condição natural se
representa uma coordenada que deve ficar positiva. Se for necessário permitir
teria que tratar sinais/ramificações — aqui a solução principal é
.