Para quais valores de c existe f^{\prime}\text{(c)} :
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; f(x)=x|x|

Passo 1

O enunciado dá a função
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=x\lvert x\rvert
e pede para quais valores de c a derivada f'\text{(c)} existe. O conteúdo aqui é classificação por partes (já que \lvert x\rvert gera expressão piecewise) e verificação da derivabilidade em pontos internos e na quebra x=0.

Passo 2

Escrevemos f\) em função de pedaços: \[f(x)= \begin{cases} x^2, & x\ge0,\\\\ -\,x^2, & x<0. \end{cases}
Para x>0\] e \(x<0 trata-se de polinômios, logo são diferenciáveis nesses intervalos, com derivadas
f'(x)= \begin{cases} 2x, & x>0,\\\\ -2x, & x<0. \end{cases}

Passo 3

Falta verificar x=0. Usamos a definição
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h\lvert h\rvert-0}{h} =\lim_{h\to0}\lvert h\rvert.
Como \lvert h\rvert\to0 quando h\to0, esse limite existe e vale 0.

Passo 4

Concluímos que a derivada existe em cada ponto x\ne0 (por serem polinômios) e também em x=0. Portanto, f é diferenciável em todo \mathbb{R}.

Resposta

A derivada f'\text{(c)} existe para todo c\in\mathbb{R}.

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